Hem de distingir dos casos:
- producte d'un monomi per un polinomi
- producte d'un polinomi per un polinomi
Producte d'un polinomi per un monomi
Es multiplica el monomi per tots els monomis que formen el polinomi.
El grau del producte és la suma dels graus dels factors.
Considerem, $$p(x)=4x^2$$ i $$q(x)=x^2+3x-2$$.
Llavors,
$$p(x)\cdot q(x)=(4x^2)(x^2+3x-2)=(4x^2)\cdot x^2+(4x^2)\cdot 3x-(4x^2)\cdot 2=$$
$$=4x^4+12x^3-8x^2$$
I es compleix,
$$\mbox{grau}(4x^4+12x^3-8x^2)=\mbox{grau}(4x^2)+\mbox{grau}(x^2+3x-2)=$$
$$=2+2=4$$
Considerem, $$p(x)=-2x$$ i $$q(x)=5x^3+3x^2-1$$.
Llavors,
$$p(x)\cdot q(x)=(-2x)(5x^3+3x^2-1)=-2x\cdot 5x^3-2x\cdot 3x^2+2x\cdot 1=$$ $$=-10x^4-6x^3+2x$$
I es compleix també,
$$\mbox{grau}(-10x^4-6x^3+2x)=\mbox{grau}(-2x)+\mbox{grau}(5x^3+3x^2-1)=$$
$$=1+3=4$$
Producte d'un polinomi per un polinomi
Es multiplica cada monomi del primer polinomi per tots els monomis que formen el segon polinomi. Després, se sumen o resten els monomis semblants, si n'hi ha.
El grau del producte és la suma dels graus dels factors.
Realitzar la multiplicació de $$p(x)$$ i $$q(x)$$ essent
$$p(x)=4x^2-1$$
$$q(x)=x^2+3x-2$$
Multipliquem el primer monomi de $$p(x)$$ per $$q(x)$$:
$$4x^2\cdot q(x)=4x^2( x^2+3x-2 )=4x^4+12x^3-8x^2$$
Ara multipliquem el segon monomi de $$p(x)$$ per $$q(x)$$:
$$(-1)\cdot q(x)=(-1)( x^2+3x-2 )=-x^2-3x+2$$
Finalment, ajuntem les dues expressions, sumant les que siguin semblants:
$$p(x)\cdot q(x)=( 4x^4+12x^3-8x^2 )+( -x^2-3x+2 )=$$
$$=4x^4+12x^3-9x^2-3x+2$$
Efectivament, es compleix:
$$\mbox{grau}( 4x^4+12x^3-9x^2-3x+2 )=$$
$$=\mbox{grau}(4x^2-1)+\mbox{grau}(x^2+3x-2)=2+2=4$$
Realitzar la multiplicació de $$p(x)$$ i $$q(x)$$ essent
$$p(x)=x+2$$
$$q(x)=3x^3-2x-1$$
Multipliquem el primer monomi de $$p(x)$$ per $$q(x)$$:
$$x\cdot q(x)=x(3x^3-2x-1)=3x^4-2x^2-x$$
Ara multipliquem el segon monomi de $$p(x)$$ per $$q(x)$$:
$$2\cdot q(x)=2(3x^3-2x-1)=6x^3-4x-2$$
Finalment, ajuntem les dues expressions, sumant les que siguin semblants:
$$p(x)\cdot q(x)=(3x^4-2x^2-x)+(6x^3-4x-2)=$$
$$=3x^4+6x^3-2x^2-5x-2$$
Efectivament, es compleix:
$$\mbox{grau}(3x^4+6x^3-2x^2-5x-2)=$$ $$=\mbox{grau}(x+2)+\mbox{grau}(3x^3-2x-1)=1+3=4$$