Per calcular el quocient de dos polinomis s'utilitza un procediment que requereix molts càlculs intermedis. Una regla que ens pot ajudar a simplificar és la regla de Ruffini. Aquesta regla només serà vàlida quan el divisor és un polinomi de la forma $$x-a$$, sent $$a$$ un nombre real.
Utilitzarem un exemple per explicar la metodologia:
Realitzar la divisió $$\dfrac{p(x)}{q(x)}$$, sent $$p(x)=x^4-3x^2+x+5$$ i $$q(x)=x+2$$.
1) Completar i ordenar el polinomi dividend.
Escriure el polinomi divisor de la forma $$x-a$$, si cal.
En el nostre cas:
$$p(x)=x^4+0x^3-3x^2+x+5$$
$$q(x)=x-(-2)$$
Fixem-nos que en aquest exemple el valor de $$a=-2$$.
2) Posem els elements en una taula com la següent.
| $$1$$ | $$0$$ | $$-3$$ | $$1$$ | $$5$$ | |
| $$-2$$ | |||||
A la fila superior, situem els coeficients del polinomi (ordenat i completat!) $$p(x)$$.
A la casella esquerra, situem el valor de $$a$$.
3) Baixem el primer coeficient, i el multipliquem pel valor de $$a$$. El resultat, el posem a sota del segon coeficient:
| $$1$$ | $$0$$ | $$-3$$ | $$1$$ | $$5$$ | |
| $$-2$$ | $$1\cdot(-2)=-2$$ | ||||
| $$1$$ |
4) Sumem la segona columna i baixem el resultat obtingut, repetint el procés fins a l'última columna:
| $$1$$ | $$0$$ | $$-3$$ | $$1$$ | $$5$$ | |
| $$-2$$ | $$1\cdot(-2)=-2$$ | $$(-2)\cdot(-2)=4$$ | $$1\cdot(-2)=-2$$ | $$(-1)\cdot(-2)=2$$ | |
| $$1$$ | $$0+(-2)=-2$$ | $$(-3)+4=1$$ | $$1+(-2)=-1$$ | $$5+2=7$$ |
5) El dígit de la cantonada inferior dreta és el residu. La resta de dígits de l'última fila són els coeficients, ordenats, del polinomi quocient.
Així doncs, en el nostre cas:
quocient: $$x^3-2x^2+x-1$$
residu: $$7$$
Com veiem, es compleix la relació de graus:
$$3=$$grau$$(x^3-2x^2+x-1)=$$grau$$(x^4-3x^2+x+5)-$$grau$$(x+2)=4-1=3$$
grau$$(7)=0 < 1 =$$grau$$(x+2)$$
Realitzar la divisió $$\dfrac{p(x)}{q(x)}$$, sent $$p(x)=x^5+2x^4-3x^3+x^2-1$$ i $$q(x)=x-1$$.
1) $$p(x)=x^5+2x^4-3x^3+x^2+0x-1$$
$$q(x)=x-1$$
$$a=1$$.
2)
| $$1$$ | $$2$$ | $$-3$$ | $$1$$ | $$0$$ | $$-1$$ | |
| $$1$$ | ||||||
3)
| $$1$$ | $$2$$ | $$-3$$ | $$1$$ | $$0$$ | $$-1$$ | |
| $$1$$ | $$1$$ | |||||
| $$1$$ | $$3$$ |
4)
| $$1$$ | $$2$$ | $$-3$$ | $$1$$ | $$0$$ | $$-1$$ | |
| $$1$$ | $$1$$ | $$3$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$1$$ | |
| $$1$$ | $$3$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$1$$ | $$0$$ |
5)
quocient: $$x^4+3x^3+x+1$$
residu: $$0$$
I es compleix:
$$4=$$grau$$(x^4+3x^3+x+1)=$$grau$$(x^5+2x^4-3x^3+x^2-1)-$$
$$-$$grau$$(x-1)=5-1=4$$
grau$$(0)=0 < 1 =$$grau$$(x-1)$$
En aquest exemple, la divisió entre els polinomis és exacta, atès que la resta és $$0$$.
Ara introduirem una mica més de dificultat en els exemples:
Realitzar la divisió $$\dfrac{p(x)}{q(x)}$$, sent $$p(x)=-x^3+ax^2-x-3$$ i $$q(x)=x+1$$, i imposar el valor del paràmetre $a$ perquè la divisió sigui exacta.
El procediment és el mateix, però haurem de realitzar les multiplicacions i sumes considerant una incògnita. Així, arribat al final, imposarem que la resta sigui $$0$$. Així doncs:
1)
$$p(x)=-x^3+ax^2-x-3$$
$$q(x)=x-(-1)$$.
2,3,4)
| $$-1$$ | $$a$$ | $$-1$$ | $$-3$$ | |
| $$-1$$ | $$1$$ | $$-a-1$$ | $$a+2$$ | |
| $$-1$$ | $$a+1$$ | $$-a-2$$ | $$a-1$$ |
Perquè la divisió sigui exacta:
$$$a-1=0 \Rightarrow a=1$$$
El polinomi quocient és:
quocient: $$-x^2+2x-3$$
residu: $$0$$