Debemos distinguir dos casos:
- producto de un monomio por un polinomio
- producto de un polinomio por un polinomio
Producto de un polinomio por un monomio
Se multiplica el monomio por todos los monomios que forman el polinomio.
El grado del producto es la suma de los grados de los factores.
Consideremos, $$p(x)=4x^2$$ i $$q(x)=x^2+3x-2$$.
Entonces,
$$p(x)\cdot q(x)=(4x^2)(x^2+3x-2)=(4x^2)\cdot x^2+(4x^2)\cdot 3x-(4x^2)\cdot 2=$$
$$=4x^4+12x^3-8x^2$$
Y se cumple,
$$\mbox{grado}(4x^4+12x^3-8x^2)=\mbox{grado}(4x^2)+\mbox{grado}(x^2+3x-2)=$$
$$=2+2=4$$
Consideremos, $$p(x)=-2x$$ i $$q(x)=5x^3+3x^2-1$$.
Entonces,
$$p(x)\cdot q(x)=(-2x)(5x^3+3x^2-1)=-2x\cdot 5x^3-2x\cdot 3x^2+2x\cdot 1=$$ $$=-10x^4-6x^3+2x$$
Y se cumple también,
$$\mbox{grado}(-10x^4-6x^3+2x)=\mbox{grado}(-2x)+\mbox{grado}(5x^3+3x^2-1)=$$
$$=1+3=4$$
Producto de un polinomio por un polinomio
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los monomios que forman el segundo polinomio. Después, se suman o restan los monomios semejantes, si hay.
El grado del producto es la suma de los grados de los factores.
Realizar la multiplicación de $$p(x)$$ y $$q(x)$$ siendo
$$p(x)=4x^2-1$$
$$q(x)=x^2+3x-2$$
Multiplicamos el primer monomio de $$p(x)$$ por $$q(x)$$:
$$4x^2\cdot q(x)=4x^2( x^2+3x-2 )=4x^4+12x^3-8x^2$$
Ahora multiplicamos el segundo monomio de $$p(x)$$ por $$q(x)$$:
$$(-1)\cdot q(x)=(-1)( x^2+3x-2 )=-x^2-3x+2$$
Finalmente, juntamos ambas expresiones, sumando las que sean semejantes:
$$p(x)\cdot q(x)=( 4x^4+12x^3-8x^2 )+( -x^2-3x+2 )=$$
$$=4x^4+12x^3-9x^2-3x+2$$
Efectivamente, se cumple:
$$\mbox{grado}( 4x^4+12x^3-9x^2-3x+2 )=$$
$$=\mbox{grado}(4x^2-1)+\mbox{grado}(x^2+3x-2)=2+2=4$$
Realizar la multiplicación de $$p(x)$$ y $$q(x)$$ siendo
$$p(x)=x+2$$
$$q(x)=3x^3-2x-1$$
Multiplicamos el primer monomio de $$p(x)$$ por $$q(x)$$:
$$x\cdot q(x)=x(3x^3-2x-1)=3x^4-2x^2-x$$
Ahora multiplicamos el segundo monomio de $$p(x)$$ por $$q(x)$$:
$$2\cdot q(x)=2(3x^3-2x-1)=6x^3-4x-2$$
Finalmente, juntamos ambas expresiones, sumando las que sean semejantes:
$$p(x)\cdot q(x)=(3x^4-2x^2-x)+(6x^3-4x-2)=$$
$$=3x^4+6x^3-2x^2-5x-2$$
Efectivamente, se cumple:
$$\mbox{grado}(3x^4+6x^3-2x^2-5x-2)=$$ $$=\mbox{grado}(x+2)+\mbox{grado}(3x^3-2x-1)=1+3=4$$