Construcció d'una equació de segon grau a partir de les seves solucions
Anem a veure ara la manera com es pot construir una equació de segon grau quan es coneixen les solucions.
Les solucions de l'equació $$x^2+2x-3=0$$ són:
$$$\displaystyle x=\frac{-2 \pm \sqrt{4+12}}{2}=\frac{-2 \pm 4}{2}=\left\{\begin{matrix} x_1=1\\ x_2=-3 \end{matrix}\right.$$$
Observem ara què passa quan fem el producte $$(x-x_1) \cdot (x-x_2)$$
$$$(x-1) \cdot (x+3)=x^2-x+3x-3=x^2+2x-3$$$
Hem arribat doncs a l'equació original.
De manera que "el producte de $$x$$ menys una arrel per $$x$$ menys l'altra arrel és igual a l'equació de segon grau que té com a solucions aquestes arrels".
Si les solucions de l'equació són $$x_1=4,x_2=2$$ l'equació corresponent de segon grau és:
$$$(x-4)(x-2)=x^2-6x+8=0$$$
Si les solucions de l'equació són $$x_1=-2, x_2=-5$$ l'equació corresponent de segon grau és:
$$$(x+1)(x+5)=x^2+6x+5=0$$$
Si les solucions de l'equació són $$x_1=3, x_2= \displaystyle -\frac{2}{3}$$ l'equació corresponent de segon grau és:
$$$\displaystyle (x-3)(x+\frac{2}{3})=x^2-\frac{7}{3}x-2=0$$$
Si les arrels de l'equació són $$x_1=0, x_2=16$$ l'equació corresponent de segon grau és:
$$$(x-0)(x-16)=x^2+16x=0$$$
Reconstrucció d'una equació de segon grau a partir de la suma i el producte d'arrels
Sabem que $$(x-x_1)\cdot (x-x_2)$$ condueix a l'equació que té a $$x_1,x_2$$ com solucions. Si fem aquest producte:
$$$(x-x_1)\cdot (x-x_2)=x^2-x_1x-x_2x+x_1x_2=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2$$$
expressió en la que apareixen la suma i el producte d'arrels als que podem anomenar $$s$$ i $$p$$.
$$$s= x_1+x_2 \\ p=x_1\cdot x_2$$$
Amb el que l'equació de segon grau adquireix la forma:
$$$x^2-sx+p=0$$$
Construir una equació de segon grau sabent que la suma de les seves arrels val $$5$$ i el producte $$6$$.
Tindrem $$s = 5, \ p = 6$$ amb el que l'equació serà:
$$$x^2-5x+6=0$$$
Aquest mètode és més ràpid que el de fer el producte d'arrels:
Vegem més exemples:
L'equació de segon grau que té per solucions $$4$$ i $$9$$ és:
$$$x^2-13x+36=0$$$
L'equació de segon grau que té per solucions $$-3$$ i $$-5$$ és:
$$$x^2+8x+15=0$$$
En principi no és senzill crear un enunciat que ens condueixi a una equació de segon grau. La manera més senzilla seria escriure literalment el que diu l'equació.
Si volem que la solució del problema sigui l'equació $$x^2-5x+6=0$$ podem plantejar un enunciat del tipus: Si elevem una quantitat al quadrat i després li restem cinc vegades aquesta mateixa quantitat el resultat és menys $$6$$, quina és aquesta quantitat?
És clar que és un enunciat més interessant el que diu "Trobar dos nombres sabent que la seva suma val $$5$$ i el producte $$6$$" enunciat que condueix a la mateixa equació i les solucions són les resultants de resoldre l'equació proposta:
$$$\displaystyle x=\frac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2}= \frac{5 \pm 1}{2}= \left\{ \begin{matrix} x_1=3 \\ x_2=2\end{matrix} \right.$$$
Aquestes mateixes dades ens permeten fer un plantejament de tipus geomètric.
Sabem que el perímetre d'un rectangle és $$10$$ i la seva àrea $$6$$. Calcular els costats d'aquest rectangle.
El perímetre del rectangle és la suma de tots els seus costats, de manera que $$a+a+b+b = 2a + 2b= 2(a+b) = 10$$, que és, $$a + b = 5$$
D'altra banda l'àrea del rectangle és $$a \cdot b = 6$$.
Després el que se'ns demana és que resolem una equació de segon grau en què la suma d'arrels val $$5$$ i el producte $$6$$, el que ens porta a l'equació $$x^2-5x+6=0$$.
La solució és:
$$$\displaystyle x=\frac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2}=\frac{5 \pm 1}{2}$$$
Amb el que els costats del rectangle seran $$a = 2$$ i $$b = 3$$