Construcción de una ecuación de segundo grado a partir de sus soluciones
Vamos a ver ahora la manera en cómo se puede construir una ecuación de segundo grado cuando se conocen las soluciones.
Las soluciones de la ecuación $$x^2+2x-3=0$$ son:
$$$\displaystyle x=\frac{-2 \pm \sqrt{4+12}}{2}=\frac{-2 \pm 4}{2}=\left\{\begin{matrix} x_1=1\\ x_2=-3 \end{matrix}\right.$$$
Observemos ahora qué sucede cuando hacemos el producto $$(x-x_1) \cdot (x-x_2)$$
$$$(x-1) \cdot (x+3)=x^2-x+3x-3=x^2+2x-3$$$Hemos llegado pues a la ecuación original.
De manera que "el producto de equis menos una raíz por equis menos la otra raíz es igual a la ecuación de segundo grado que tiene como soluciones dichas raíces".
Si las soluciones de la ecuación son $$x_1=4,x_2=2$$ la ecuación correspondiente de segundo grado es:
$$$(x-4)(x-2)=x^2-6x+8=0$$$
Si las raíces de la ecuación son $$x_1=-2, x_2=-5$$ la ecuación correspondiente de segundo grado es:
$$$(x+1)(x+5)=x^2+6x+5=0$$$
Si las soluciones de la ecuación son $$x_1=3, x_2= \displaystyle -\frac{2}{3}$$ la ecuación correspondiente de segundo grado es:
$$$\displaystyle (x-3)(x+\frac{2}{3})=x^2-\frac{7}{3}x-2=0$$$
Si las raíces de la ecuación son $$x_1=0, x_2=16$$ la ecuación correspondiente de segundo grado es:
$$$(x-0)(x-16)=x^2+16x=0$$$
Reconstrucción de una ecuación de segundo grado a partir de la suma y el producto de raíces
Sabemos que $$(x-x_1)\cdot (x-x_2)$$ conduce a la ecuación que tiene a $$x_1,x_2$$ como soluciones. Si efectuamos este producto:
$$$(x-x_1)\cdot (x-x_2)=x^2-x_1x-x_2x+x_1x_2=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2$$$
expresión en la que aparecen la suma y el producto de raíces a los que podemos llamar $$s$$ y $$p$$.
$$$s= x_1+x_2 \\ p=x_1\cdot x_2$$$
Con lo que la ecuación de segundo grado adquiere la forma:
$$$x^2-sx+p=0$$$
Construir una ecuación de segundo grado sabiendo que la suma de sus raíces vale $$5$$ y el producto $$6$$.
Tendremos $$s = 5, \ p = 6$$ con lo que la ecuación será:
$$$x^2-5x+6=0$$$
Este método es más rápido que el de hacer el producto de raíces.
Veamos otros ejemplos:
La ecuación de segundo grado que tiene por soluciones $$4$$ y $$9$$ es:
$$$x^2-13x+36=0$$$
La ecuación de segundo grado que tiene por soluciones $$-3$$ y $$-5$$ es:
$$$x^2+8x+15=0$$$
En principio no es sencillo crear un enunciado que nos conduzca a una ecuación de segundo grado. La manera más sencilla sería escribir literalmente lo que dice la ecuación.
Si queremos que la solución del problema sea la ecuación $$x^2-5x+6=0$$ podemos plantear un enunciado del tipo: Si elevamos una cantidad al cuadrado y luego le restamos cinco veces esa misma cantidad el resultado es menos $$6$$ ¿Cual es dicha cantidad?
Está claro que es un enunciado más interesante el que dice "Hallar dos números sabiendo que su suma vale $$5$$ y el producto $$6$$" enunciado que conduce a la misma ecuación y cuyas soluciones son las resultantes de resolver la ecuación propuesta:
$$$\displaystyle x=\frac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2}= \frac{5 \pm 1}{2}= \left\{ \begin{matrix} x_1=3 \\ x_2=2\end{matrix} \right.$$$
Estos mismos datos nos permiten hacer un planteamiento de tipo geométrico.
Sabemos que el perímetro de un rectángulo es $$10$$ y su área $$6$$. Calcular los lados de dicho rectángulo.
El perímetro del rectángulo es la suma de todos sus lados, de manera que $$a+a+b+b = 2a + 2b= 2(a+b) = 10$$, que es, $$a + b = 5$$
Por otro lado el área del rectángulo es $$a \cdot b = 6$$.
Luego lo que se nos pide es que resolvamos una ecuación de segundo grado en la que la suma de raíces vales $$5$$ y el producto $$6$$, lo que nos lleva a la ecuación $$x^2-5x+6=0$$.
Y la solución es:
$$$\displaystyle x=\frac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2}=\frac{5 \pm 1}{2}$$$
Con lo que los lados del rectángulo serán $$a = 2$$ y $$b = 3$$