Una equació com $$x^2+3x-10=0$$ es diu que és de segon grau perquè l'exponent de la $$x$$ (que és la incògnita) està elevat a $$2$$ (una equació com ara $$4x^3+2x+10=0$$, ja no seria de segon grau, sinó de tercer).
La forma general d'una equació d'aquest tipus és:
$$$ax^2+bx+c=0$$$En on $$x$$ és la incògnita i $$a$$, $$b$$, $$c$$ són nombres qualssevol.
La fórmula que ens permet resoldre aquest tipus d'equacions és la següent:
$$$\displaystyle x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$$
En aquesta operació final apareix un signe $$\pm$$, i és que, en principi, una equació de segon grau pot tenir dues solucions diferents, una d'elles s'obté quan utilitzem el $$+$$ i l'altra quan utilitzem el $$-$$.
Anem a aplicar aquesta fórmula a l'equació $$x^2+3x-10=0$$.
Escrivim els valors de $$a$$, $$b$$ i $$c$$:
$$$a= 1, b= 3 \mbox{ i } c=-10 $$$
i els substituïm en la fórmula:
$$$\displaystyle x=\frac{-3 \pm \sqrt{3^2-4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1}=\frac{-3 \pm \sqrt{9+40}}{2}=\frac{-3\pm \sqrt{49}}{2}=$$$
$$$=\frac{-3 \pm 7}{2}$$$
I ens dóna dues solucions diferents:
$$$\displaystyle \frac{-3+7}{2}=\frac{4}{2}=2 \\ \frac{-3-7}{2}=\frac{-10}{2}=-5$$$
De manera que l'equació proposta té com a solucions $$2$$ i $$-5$$.
En la majoria dels llibres de text les solucions s'indiquen escrivint un subíndex en la lletra $$x$$, de manera que en el nostre cas tindríem:
$$$x_1=2 \\ x_2=-5$$$
Les solucions de l'equació s'anomenen arrels. És el mateix dir que $$2$$ i $$-5$$ són les solucions, de dir que les arrels de l'equació $$x^2+3x-10=0$$ són $$2$$ i $$-5$$.
Vegem altres exemples:
Resoldre l'equació $$6x^2-5x-4=0$$.$$a=6$$, $$b=-5$$ i $$c=-4$$
$$$\displaystyle x=\frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4 \cdot 6 \cdot (-4)}}{2 \cdot 6}= \frac{5 \pm \sqrt{25+96}}{12}=\frac{5 \pm 11}{12}=$$$
$$$\displaystyle=\left\{\begin{matrix} x_1=\frac{4}{3} \\ x_2=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$$
Trobar les solucions de l'equació $$x^2+x-2=0$$.$$a=1$$, $$b=1$$ i $$c=-2$$
$$$\displaystyle x=\frac{-1 \pm \sqrt{1^2-4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}= \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2}=\frac{-1 \pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix} x_1=1 \\ x_2=-2\end{matrix}\right.$$$
Quines són les arrels de $$2x^2-5x-1=0$$? $$a=2$$, $$b=-5$$ i $$c=-1$$
$$$\displaystyle x=\frac{5 \pm \sqrt{5^2-4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2}= \frac{5 \pm \sqrt{25+8}}{4}=\frac{5 \pm \sqrt{33}}{4}= \\ =\left\{\begin{matrix} x_1=2.69 \\ x_2=-0.19\end{matrix}\right.$$$
Resoldre $$x^2-16=0$$. $$a=1$$, $$b=0$$ i $$c=-16$$
$$$\displaystyle x=\frac{0 \pm \sqrt{0-4 \cdot (-16) }}{2}= \frac{\pm 8}{2}=\left\{\begin{matrix} x_1=4 \\ x_2=-4\end{matrix}\right.$$$
Trobar les arrels de $$2x^2-4x=0$$. $$a=2$$, $$b =-4$$ i $$c=0$$.
$$$\displaystyle x=\frac{4 \pm \sqrt{16-4\cdot 2 \cdot 0 }}{2 \cdot 2}=\left \{ \begin{matrix} x_1=2 \\x_2=0 \end{matrix}\right.$$$
De vegades els termes de l'equació estan agrupats de diferent forma, com en $$5-x=3x^2$$ en aquest cas n'hi ha prou amb passar-ho tot al primer membre $$-3x^2-x+5=0$$
En altres casos pot ser que la incògnita no estigui representada per la lletra $$x$$, com en $$3k^2-8k+5=0$$, el que no canvia les coses. Les solucions per a aquesta equació són: $$$\begin{matrix} k_1=1 \\ k_2= \displaystyle \frac{5}{3}\end{matrix}$$$
És important recordar que l'arrel quadrada d'un nombre negatiu no existeix dins del conjunt dels nombres reals. Quan ens trobem en un cas així direm que l'equació no té solucions en $$\mathbb{R}$$.
Trobar les arrels de $$x^2+2x+5=0$$. $$a=1$$, $$b =2$$ i $$c=5$$.
$$$\displaystyle x=\frac{-2 \pm \sqrt{4-20}}{2 \cdot 2}= \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{4}$$$
Aquesta equació no té solucions en $$\mathbb{R}$$.