Zona de validesa d'inequacions lineals simultànies

Anem a aprendre a crear i resoldre un document del següent tipus:

Donat un conjunt de restriccions (inequacions), determinar la zona del pla en què es compleixen totes elles, donant els valors de les coordenades dels vèrtexs d'aquesta zona.

Normalment en els exercicis amb inequacions es té més d'una restricció simultàniament sobre les variables. Per exemple, si tenim com a problema el nombre de cadires (de $$10$$ kg) i taules (de $$20$$ kg) que pot transportar un camió (que només pot portar com a màxim $$1.000$$ kg), s'ha de tenir en compte també la restricció de que tant el nombre de cadires com el de taules ha de ser positiu. Per tant, a més de la restricció sobre el pes que pot transportar el camió:

(i) $$10\cdot x+20\cdot y\leqslant 1000$$

es tindran també les restriccions que tant el nombre de cadires ($$x$$) com el nombre de taules ($$y$$) han de ser positius:

(ii) $$x\geqslant0$$

(iii) $$y\geqslant0$$

Cadascuna d'aquestes restriccions té associada una recta en el pla XY, que separa el pla en dues regions: la regió de validesa (regió en què es compleix la restricció) i la zona en què no es compleix. A continuació es presenten aquestes rectes i zones de validesa per a les tres restriccions:

(i) La restricció és: $$$10\cdot x+20\cdot y\leqslant 1000$$$

i per tant la recta associada és: $$$ f(x)=-\dfrac{1}{2}\cdot x+50$$$

A més, si provem el punt $$(x=0,y=0)$$ a la inequació: $$$10\cdot 0+20\cdot 0\leqslant 1000$$$

per tant la regió de validesa serà la que contingui el punt $$(0,0)$$:

imagen

(ii) La restricció és: $$$x\geqslant0$$$

Aquest tipus de restricció representa una recta vertical (paral.lela a l'eix $$y$$) que separa els valors de $$x$$ majors i menors que $$0$$ respectivament. La zona de validesa serà els valors de majors que zero:

imagen

iii) La restricció és: $$$y\geqslant0$$$

La recta associada a aquesta restricció és: $$$g(x)=0$$$

i la zona de validesa és, evidentment, la regió per sobre de $$g(x)$$, $$\ y\geqslant0$$:

imagen

Ara seria qüestió de conèixer la regió del pla XY en què es compleixen totes les restriccions simultàniament. Aquesta regió serà la que sigui comuna a les regions de validesa de totes les restriccions. Per al cas de les cadires i les taules serà el triangle que formen la recta $$f(x)$$ i els eixos $$x$$ i $$y$$:

imagen

Veiem que en aquest cas, en tenir en compte totes les restriccions al mateix temps, la regió de validesa (a partir d'ara es referirà a la regió comú de totes les zones de validesa de les diferents restriccions com a regió de validesa a seques) és una zona acotada del pla. En els exemples anteriors la regió de validesa s'estenia per algun costat fins a l'infinit, per això no estaven delimitades aquestes zones.

Per conèixer bé la regió de validesa s'han de conèixer les coordenades dels seus vèrtexs. En aquest cas és molt senzill. Ja coneixem les coordenades d'un dels punts: el $$(0,0)$$. Els altres dos punts de tall són els punts on la recta $$f(x)$$ talla els eixos.

Els punts de tall amb els eixos es poden trobar fàcilment:

  • Per al punt de tall amb l'eix $$y$$, tan sols s'ha de saber que tot l'eix $$y$$ té coordenada $$x=0$$, i el valor de $$y$$ en el punt de tall serà el que prengui la funció $$f(x)=-\dfrac{1}{2}\cdot x+50$$ en $$x=0$$ (sobre l'eix $$y$$). Així doncs el punt de tall serà: $$(x=0,y=f(0)=50)$$.

  • El punt de tall amb l'eix $$x$$ es dóna, quan $$y = 0$$, és a dir, en el valor de $$x$$ en què la funció pren el valor $$0$$: $$$ f(x)=0 \Rightarrow -\dfrac{1}{2}\cdot x+50=0 \Rightarrow x=100$$$ Per tant, el punt en què la recta $$f(x)$$ talla l'eix $$x$$ és el $$(x=100,y=0)$$.

Així doncs els vèrtexs de la regió de validesa tenen per coordenades: $$$ (0,0) \quad (0,50) \quad (100,0)$$$

En aquest cas ha estat molt fàcil trobar els vèrtexs.

El següent exemple il·lustrarà la forma més general per trobar els vèrtexs de la regió de validesa.

Es tenen les següents restriccions: $$$\begin{array}{rcl} x+4 &\geqslant& 4 \\ y &\leqslant& 4 \\ y &\geqslant& x \end{array}$$$

que tenen per rectes associades: $$$\begin{array}{l} r(x): \ y=-x+4 \\ s(x):\ y=4 \\ t(x):\ y=x \end{array} $$$

Podem visualitzar aquestes rectes i determinar els semiplans on es compleix cada inequació per separat.

Per a la recta $$r$$:

imagen

Com que no es compleix la inequació al punt $$(0,0)$$, $$\ 0+0\ngeqslant 4$$, veiem que la zona de validesa de la inequació és el semiplà per sobre de la recta.

Per a la recta $$s$$:

imagen

Com es compleix la inequació al punt $$(0,0)$$, $$\ 0\leqslant 4$$, veiem que la zona de validesa de la inequació és el semiplà per sota de la recta.

Per a la recta $$t$$:

imagen

Com es compleix la inequació al punt $$(0,1)$$, $$\ 1\geqslant 0$$ veiem que la zona de validesa de la inequació és el semiplà per sobre de la recta.

En conjunt tenim doncs: imagen

La zona on coincideixen tots els semiplans és la regió factible. Veiem que en aquest cas es tracta també d'una zona delimitada.

S'ha de realitzar ara el càlcul dels vèrtexs d'aquesta zona. Per a això es necessitarà saber el punt en què es tallen les rectes dos a dos. Haurem de trobar tres punts de tall: el de la recta $$r$$ amb la $$s$$, la $$r$$ amb la $$t$$ i la $$s$$ amb la $$t$$.

Com trobar el punt de tall de dues rectes:

Conèixer un punt significa saber les coordenades $$x$$ i $$y$$ del punt. Si dues rectes $$f(x)$$ i $$g(x)$$ es tallen, sabem que les dues funcions estaran prenent el mateix valor en la posició en què es tallen. Gràficament:

imagen

Per tant, sabem que el punt de tall serà $$(x_0,y_0)$$ i que el valor de $$y_0$$ és igual al valor de les dues funcions en $$x_0$$, ja que sabem que les dues funcions han de prendre el mateix valor en aquest punt per tallar: $$$ f(x_0)=g(x_0) $$$

Tornem a l'exemple.

Punt de tall entre $$r$$ i $$s$$:

S'han de trobar les coordenades $$x$$ i $$y$$ del punt d'intersecció. A les coordenades d'aquest punt els anomenarem $$x_0$$ i $$y_0$$.

Per trobar la coordenada $$x$$ en què es tallen les rectes, $$x_0$$, igualem les dues funcions $$r(x)=-x+4$$ i $$s(x)=4$$ en el punt en que es tallen les rectes ($$x_0$$):

$$$ r(x_0)=s(x_0) \Rightarrow -x_0+4=4 \Rightarrow x_0=0$$$

Per tant les dues rectes es tallen en $$x_0=0$$.

Determinar la coordenada $$y$$ del punt de tall, $$y_0$$ és senzill, ja que és el valor que prenen tant la funció $$r(x)$$ com $$s(x)$$ a $$x=x_0$$.

$$$y_0=r(x_0)=s(x_0) \Rightarrow y_0=r(0)=s(0)=-0+4=4$$$

Per tant el punt de tall entre les rectes $$r$$ i $$s$$ és: $$(x_0=0,y_0=4)$$.

Punt de tall entre $$r$$ i $$t$$:

Es procedeix igual que en el cas anterior. Igualem les funcions $$r(x)=-x+4$$ i $$t(x)=x$$ en el punt de tall, que aquesta vegada tindrà per coordenades $$(x_1,y_1)$$.

$$$ r(x_1)=t(x_1) \Rightarrow -x_1+4=x_1 \Rightarrow x_1=2$$$

Com en el cas anterior, la coordenada $$y$$ del punt de tall, $$y_1$$, és igual al valor que prenen les funcions $$r(x)$$ i $$t(x)$$ en el punt de tall:

$$$ y_1=r(x_1)=t(x_1)=-2+4=2$$$

Així doncs, les coordenades del punt de tall són: $$(x_1=2,y_1=2)$$.

Punt de tall entre $$s$$ i $$t$$:

Aquest punt de tall tindrà per coordenades $$(x_2,y_2)$$. Primer determinem el valor de $$x_2$$ com en els casos anteriors, és a dir igualant $$s(x)=4$$ i $$t(x)=x$$ en el punt de tall $$x_2$$: $$$ s(x_2)=t(x_2) \Rightarrow 4=x_2 $$$

Es determina el valor de la coordenada $$y$$ del punt de tall, $$y_2$$ com en les anteriors ocasions: $$$ y_2=s(x_2)=t(x_2)=4 $$$

Per tant, el punt de tall entre les rectes $$s(x)$$ i $$t(x)$$ és el que té per coordenades: $$(x_2=4,y_2=4)$$.

Així doncs els vèrtexs de la regió de validesa tenen per coordenades: $$$ (x_0,y_0)=(0,4) \quad (x_1,y_1)=(2,2) \quad (x_2,y_2)=(4,4) $$$

Altres exemples:

Considerant el sistema d'inequacions següent: $$$ \begin{array}{rcl} x &\geqslant& 0 \\ y &\leqslant& 4 \\ y &\geqslant& \dfrac{x}{2} \end{array}$$$

Busquem primer les rectes associades a cada inequació i les zones de validesa de cadascuna:

  • La primera d'elles ens dóna una recta paral.lela a l'eix $$y$$ en $$x=0$$ i la seva regió de validesa és la que té $$x$$ major que $$0$$ (cap a la dreta de l'eix $$y$$).
  • La segona és una recta paral·lela a l'eix $$x$$, que passa per $$y=4$$ i té com a regió de validesa el semiplà que té per sota (on $$y$$ és menor que $$4$$).
  • La tercera recta és $$y=\dfrac{x}{2}$$ i la seva regió de validesa és la que està per sobre de la recta (es pot comprovar fàcilment, veient que el punt $$(0,1)$$ compleix la inequació: $$1\geqslant$$).

image

Determinarem els vèrtexs de la zona de validesa com els punts de tall entre les diferents rectes.

  • La recta $$x=0$$ talla amb $$y=4$$ en el punt $$(x_0=0,y_0=4)$$.
  • La recta $$x=0$$ talla amb $$y=\dfrac{x}{2}$$ al punt $$(x_1=0,y_1=0)$$.
  • La recta $$y=4$$ talla amb $$y=\dfrac{x}{2}$$ al punt $$(x_2=8,y_2=0)$$.

Per tant, els vèrtexs de la regió de validesa són: $$$ (x_0,y_0)=(0,4) \quad (x_1,y_1)=(0,0) \quad (x_2,y_2)=(8,0) $$$

Donat el conjunt de restriccions:

$$$ \begin{array}{rcl} x+3 &\geqslant& y \\ 8 &\geqslant& x+y \\ y &\geqslant& x-3 \\ x &\geqslant& 0 \\ y &\geqslant& 0 \end{array}$$$

Busquem primer les rectes associades a cada restricció i les zones de validesa de cada inequació (comprovant amb un punt en les inequacions). Les rectes associades són:

$$$ \begin{array}{l} f: \ y=3+x \\ g:\ y=-x+8 \\ h:\ y=x-3 \\ i:\ x=0 \\ j:\ y=0 \end{array}$$$

Dibuixant les rectes i les zones de validesa podem visualitzar la regió de validesa.

imagen

Si no podem fer el dibuix tenim una alternativa. Havent-hi tantes rectes, normalment es tindran més punts de tall entre les rectes, que vèrtexs a la zona de validesa. Per aquest motiu, no tots els punts de tall entre les diferents rectes seran vèrtexs de la regió de validesa. Per reconèixer quins són els vèrtexs de la regió de validesa es farà el següent:

  • Es calculen tots els punts de tall entre les diferents rectes.

  • Aquells punts de tall en què es compleixin a la vegada totes les restriccions seran els vèrtexs de la zona de validesa (i així podrem dibuixar-la, si no ho hem fet abans).

Procedint d'aquesta manera amb el problema, anem a calcular tots els punts de tall entre les diferents rectes:

  • $$f$$ amb $$g$$ es tallarà al punt $$(x_0,y_0)$$. Calculem les coordenades del punt: $$$f(x_0)=g(x_0) \Rightarrow 3+x_0=-x_0+8 \Rightarrow x_0=\dfrac{5}{2} $$$ I la coordenada $$y$$: $$$y_0=f(x_0)=g(x_0)=\dfrac{11}{2}$$$ Per tant les coordenades del punt de tall són: $$(x_0,y_0)=(\dfrac{5}{2}, \dfrac{11}{2})$$.

  • $$f$$ amb $$h$$ es tallarà al punt $$(x_1,y_1)$$. Calculem les coordenades del punt com ja s'ha fet abans: $$$f(x_1)=h(x_1) \Rightarrow 3+x_1=x_1-3 \Rightarrow 3=-3 $$$ Veiem que en intentar trobar la coordenada $$x$$ del punt de tall ens apareix una equació que no es compleix. Això vol dir que les dues rectes són en realitat paral.leles (per tant no es tallen mai).

  • $$f$$ amb $$i$$ es tallarà al punt $$(x_2,y_2)$$. La recta $$f(x)=3+x$$ es tallarà amb la recta $$x=0$$ (recta que coincideix amb l'eix $$y$$) en el punt $$(x=0,y=f(0))$$. És a dir: $$(x_2,y_2)=(0,3)$$.

  • $$f$$ amb $$j$$ es tallarà al punt $$(x_3,y_3)$$. Calculem les coordenades del punt com ja s'ha fet abans: $$$f(x_3)=j(x_3) \Rightarrow 3+x_3=0 \Rightarrow x_3=-3 $$$ I la coordenada $$y$$, $$$y_3=f(x_3)=j(x_3)=0$$$ Per tant les coordenades del punt de tall són: $$(x_3,y_3)=(-3,0)$$.

  • $$g$$ amb $$h$$ es tallarà al punt $$(x_4,y_4)$$. Calculem les coordenades del punt com ja s'ha fet abans: $$$g(x_4)=h(x_4) \Rightarrow -x_4+8=x_4-3 \Rightarrow x_4=\dfrac{11}{2} $$$ I la coordenada $$y$$: $$$y_4=g(x_4)=h(x_4)=\dfrac{5}{2}$$$ Per tant les coordenades del punt de tall són: $$(x_4,y_4)=(\dfrac{11}{2},\dfrac{5}{2})$$.

  • $$g$$ amb $$i$$ es tallarà al punt $$(x_5,y_5)$$. La recta $$i$$ ens diu que $$x=0$$, per tant el punt de tall serà: $$(0,g(0))=(0,8)$$. Per tant les coordenades del punt de tall són: $$(x_5,y_5)=(0,8)$$.

  • $$g$$ amb $$j$$ es tallarà al punt $$(x_6,y_6)$$. Calculem les coordenades del punt com ja s'ha fet abans: $$$ g(x_6)=j(x_6) \Rightarrow -x_6+8=0 \Rightarrow x_6=8 $$$ I la coordenada $$y$$: $$$y_6=g(x_6)=j(x_6)=0$$$ Per tant les coordenades del punt de tall són: $$(x_6,y_6)=(8,0)$$.

  • $$h$$ amb $$i$$ es tallarà al punt $$(x_7,y_7)$$. La recta $$i$$ ens diu que $$x=0$$, per tant el punt de tall serà: $$(0,h(0))=(0,-3)$$. Per tant les coordenades del punt de tall són:$$(x_7,y_7)=(0,-3)$$.

  • $$h$$ amb $$j$$ es tallarà al punt $$(x_8,y_8)$$. Calculem les coordenades del punt com ja s'ha fet abans: $$$ h(x_8)=j(x_8) \Rightarrow x_8-3=0 \Rightarrow x_8=3 $$$ I la coordenada $$y$$: $$$y_8=h(x_8)=j(x_8)=0$$$ Per tant les coordenades del punt de tall són:$$(x_8,y_8)=(3,8)$$.

  • $$i$$ amb $$j$$ es tallarà al punt $$(x_9,y_9)$$. La recta $$i$$ ens diu que $$x=0$$, i la $$j$$ que $$y=0$$, per tant les coordenades del punt de tall són: $$(x_9,y_9)=(0,0)$$.

Determinació dels vèrtexs de la zona de validesa:

Es tenen nou punts de tall entre les rectes. Com s'ha dit abans, s'ha de comprovar en quins punts es compleixen totes les inequacions, i aquests seran els vèrtexs de la regió de validesa.

$$$ \begin{array}{l} (x_0,y_0)=(\dfrac{5}{2}, \dfrac{11}{2})\ \text{ es compleixen totes les inequacions.} \\ (x_2,y_2)=(0,3)\ \text{ es compleixen totes les inequacions.}\\ (x_3,y_3)=(-3,0)\ \text{ no es compleix la inequació } x\geqslant0. \\ (x_4,y_4)=(\dfrac{11}{2},\dfrac{5}{2})\ \text{ es compleixen totes les inequacions.} \\ (x_5,y_5)=(0,8)\ \text{ no es compleix la inequació } x+3\geqslant y . \\ (x_6,y_6)=(8,0)\ \text{ no es compleix la inequació } y\geqslant x-3 . \\ (x_7,y_7)=(0,-3)\ \text{ no es compleix la inequació } y\geqslant 0 . \\ (x_8,y_8)=(3,8)\ \text{ es compleixen totes les inequacions.}\\ (x_9,y_9)=(0,0)\ \text{ es compleixen totes les inequacions.} \end{array}$$$

Per tant els vèrtexs de la regió de validesa són: $$$ (x_0,y_0)=(\dfrac{5}{2}, \dfrac{11}{2}) \quad (x_2,y_2)=(0,3)\quad (x_4,y_4)=(\dfrac{11}{2},\dfrac{5}{2})$$$ $$$(x_8,y_8)=(3,8)\quad (x_9,y_9)=(0,0) $$$

En resum, si es tenen diverses inequacions simultàniament, cadascuna determinarà un semiplà on es compleix. La intersecció d'aquests semiplans (regió conjunta a tots ells) se li dirà regió factible, i és la regió en què es compleixen totes les inequacions alhora. Aquesta zona pot estar acotada o no.

Es determinen els vèrtexs de la zona de validesa, determinant els punts de tall de les rectes de dos en dos. Si es tenen les dues rectes: $$$f(x)=ax+b \qquad g(x)=cx+d$$$

El punt de tall serà $$(x_0,f(x_0))$$ o equivalentment $$(x_0,g(x_0))$$. Per determinar el punt de tall es fa: $$$ f(x_0)=g(x_0) \Rightarrow ax_0+b=cx_0+d$$$

La solució a aquesta equació és: $$$x_0=\dfrac{d-b}{a-c}$$$

I les funcions $$f(x)$$ i $$g(x)$$ prenen en aquest punt el valor: $$$f(x_0)=g(x_0)=\dfrac{ad-bc}{a-c}$$$

Essent doncs el punt de tall entre les dues rectes: $$$\Big( x_0=\dfrac{d-b}{a-c}, y_0=\dfrac{ad-bc}{a-c} \Big) $$$

Així es calculen els vèrtexs de la regió de validesa o regió factible.