Exercicis de Zona de validesa d'inequacions lineals simultànies

Desenvolupament:

i) Les rectes associades a aquestes inequacions són les següents (les trobarem prenent estrictament el signe d'igualtat en les inequacions i aïllant la variable $$y$$): $$$ \begin{array}{rcl} f&:& 4x+5y=40 \Rightarrow 5y=-4x+40 \Rightarrow y=-\dfrac{4}{5}x+8 \\ g&:& 2x+5y=30 \Rightarrow 5y=-2x+30 \Rightarrow y=-\dfrac{2}{5}x+6 \\ h&:& x=0 \\ i&:& y=0 \end{array}$$$

Les dues últimes rectes són respectivament l'eix $$y$$ i l'eix $$x$$.

Provant el punt $$(0,0)$$ en les dues primeres inequacions veiem que les regions de validesa d'aquestes dues restriccions són per sota de les rectes (el $$(0,0)$$ queda per sota de les rectes i compleix les inequacions). Pel que fa a les altres dues restriccions, les seves regions de validesa són òbvies: $$x\geqslant0$$ ens diu que només podem tenir punts a la dreta de l'eix $$y$$ i l'última restricció ($$y\geqslant0$$) ens diu que la seva regió de validesa és per sobre de l'eix $$x$$. La zona de validesa està acotada.

ii) Es determinaran primer tots els punts de tall entre les rectes i després es comprovarà quins d'ells compleixen totes les restriccions (aquests seran els vèrtexs de la regió factible).

Punts de tall:

• $$f$$ amb $$g$$. Tallaran al punt $$(x_0,y_0)$$. Calculem com en altres ocasions: $$$ f(x_0)=g(x_0) \Rightarrow -\dfrac{4}{5}x_0+8=-\dfrac{2}{5}x_0+6 \Rightarrow x_0=5 $$$ $$$y_0=f(x_0)=g(x_0)=4 \Rightarrow (x_0,y_0)=(5,4)$$$ Aquest punt compleix totes les inequacions, per tant serà un dels vèrtexs de la regió factible.

• $$f$$ amb $$h$$. Tallaran al punt $$(x_1,y_1)$$. La recta $$h$$ ens diu que $$x=0$$, per tant el punt de tall entre les dues rectes és: $$$(0,f(0))=(0,8) \Rightarrow (x_1,y_1)=(0,8)$$$ Aquest punt no compleix la inequació $$ 2x+5y \leqslant 30 $$, Per tant aquest no és un dels vèrtexs de la regió factible.

• $$f$$ amb $$i$$: Tallaran al punt $$(x_2,y_2)$$. Calculem aquestes coordenades: $$$f(x_2)=i(x_2) \Rightarrow -\dfrac{4}{5}x_2+8=0 \Rightarrow x_2=10 $$$ $$$y_2=f(x_2)=i(x_2)=0 \Rightarrow (x_2,y_2)=(8,0)$$$ Aquest punt compleix totes les inequacions, per tant serà un dels vèrtexs de la regió factible.

• $$g$$ amb $$h$$: Tallaran al punt $$(x_3,y_3)$$. La recta $$h$$ ens diu que $$x=0$$, per tant el punt de tall entre les dues rectes és: $$$(0,g(0))=(0,6) \Rightarrow (x_3,y_3)=(0,6)$$$ Aquest punt compleix totes les inequacions, per tant serà un dels vèrtexs de la regió factible.

• $$g$$ amb $$i$$: Tallaran al punt $$(x_4,x_4)$$. Calculem aquestes coordenades: $$$g(x_4)=i(x_4) \Rightarrow -\dfrac{2}{5}x_2+6=0 \Rightarrow x_4=15 $$$ $$$y_4=g(x_4)=i(x_4)=0 \Rightarrow (x_4,y_4)=(15,0)$$$ Aquest punt no compleix la inequació $$4x+5y\leqslant 40$$, per tant aquest no és un dels vèrtexs de la regió factible.

• $$h$$ amb $$i$$: Tallaran al punt $$(x_5,x_5)$$. Les rectes $$h$$ i $$i$$ ens diuen respectivament que $$x=0$$ i $$y=0$$, per tant el punt de tall serà on tallen els eixos, és a dir en l'origen: $$(x_5,x_5)=(0,0)$$. Aquest punt compleix totes les inequacions, per tant serà un dels vèrtexs de la regió factible.

Solució:

i) Les rectes associades i regions de validesa de les restriccions són:

• $$f:\ y=-\dfrac{4}{5}x+8$$ i la seva regió factible està per sota de la recta.
• $$g:\ y=-\dfrac{2}{5}x+6$$ i la seva regió factible està per sota de la recta.
• $$h:\ x=0 $$ aquesta recta coincideix amb l'eix $$y$$, i la seva regió factible és a la dreta d'aquest eix.
• $$i:\ y=0$$ aquesta recta coincideix amb l'eix $$x$$, i la seva regió factible està per sobre d'aquest eix.

La zona factible comú a totes les inequacions està fitada.

ii) Els vèrtexs de la zona factible comuna a totes les restriccions són:

• $$(x_0,y_0)=(5,4)$$ (punt de tall de $$f$$ amb $$g$$).

• $$(x_2,y_2)=(8,0)$$ (punt de tall de $$f$$ amb $$i$$).

• $$(x_3,y_3)=(0,6)$$ (punt de tall de $$g$$ amb $$h$$).

• $$(x_5,x_5)=(0,0)$$ (punt de tall de $$h$$ amb $$i$$).

No tots els punts en què es tallen les rectes són vèrtexs de la zona factible. Per això hem hagut de comprovar quins punts compleixen totes les restriccions simultàniament.

Amagar desenvolupament i solució