Zona de validesa d'inequacions lineals simultànies

Exercicis

Donat el sistema d'inequacions: $$$ \begin{array}{rcl} 4x+5y &\leqslant& 40 \\ 2x+5y &\leqslant& 30 \\ x &\geqslant& 0 \\ y &\geqslant& 0 \end{array}$$$

i) Determinar les rectes associades a les inequacions i les regions de validesa d'aquestes. Està acotada la regió de validesa associada a totes les inequacions simultàniament?

ii) Determinar els vèrtexs de la regió de validesa. Són tots els punts de tall entre les rectes també vèrtexs de la regió de validesa?

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

i) Les rectes associades a aquestes inequacions són les següents (les trobarem prenent estrictament el signe d'igualtat en les inequacions i aïllant la variable $$y$$): $$$ \begin{array}{rcl} f&:& 4x+5y=40 \Rightarrow 5y=-4x+40 \Rightarrow y=-\dfrac{4}{5}x+8 \\ g&:& 2x+5y=30 \Rightarrow 5y=-2x+30 \Rightarrow y=-\dfrac{2}{5}x+6 \\ h&:& x=0 \\ i&:& y=0 \end{array}$$$

Les dues últimes rectes són respectivament l'eix $$y$$ i l'eix $$x$$.

Provant el punt $$(0,0)$$ en les dues primeres inequacions veiem que les regions de validesa d'aquestes dues restriccions són per sota de les rectes (el $$(0,0)$$ queda per sota de les rectes i compleix les inequacions). Pel que fa a les altres dues restriccions, les seves regions de validesa són òbvies: $$x\geqslant0$$ ens diu que només podem tenir punts a la dreta de l'eix $$y$$ i l'última restricció ($$y\geqslant0$$) ens diu que la seva regió de validesa és per sobre de l'eix $$x$$. La zona de validesa està acotada.

ii) Es determinaran primer tots els punts de tall entre les rectes i després es comprovarà quins d'ells compleixen totes les restriccions (aquests seran els vèrtexs de la regió factible).

Punts de tall:

  • $$f$$ amb $$g$$. Tallaran al punt $$(x_0,y_0)$$. Calculem com en altres ocasions: $$$ f(x_0)=g(x_0) \Rightarrow -\dfrac{4}{5}x_0+8=-\dfrac{2}{5}x_0+6 \Rightarrow x_0=5 $$$ $$$y_0=f(x_0)=g(x_0)=4 \Rightarrow (x_0,y_0)=(5,4)$$$ Aquest punt compleix totes les inequacions, per tant serà un dels vèrtexs de la regió factible.

  • $$f$$ amb $$h$$. Tallaran al punt $$(x_1,y_1)$$. La recta $$h$$ ens diu que $$x=0$$, per tant el punt de tall entre les dues rectes és: $$$(0,f(0))=(0,8) \Rightarrow (x_1,y_1)=(0,8)$$$ Aquest punt no compleix la inequació $$ 2x+5y \leqslant 30 $$, Per tant aquest no és un dels vèrtexs de la regió factible.

  • $$f$$ amb $$i$$: Tallaran al punt $$(x_2,y_2)$$. Calculem aquestes coordenades: $$$f(x_2)=i(x_2) \Rightarrow -\dfrac{4}{5}x_2+8=0 \Rightarrow x_2=10 $$$ $$$y_2=f(x_2)=i(x_2)=0 \Rightarrow (x_2,y_2)=(8,0)$$$ Aquest punt compleix totes les inequacions, per tant serà un dels vèrtexs de la regió factible.

  • $$g$$ amb $$h$$: Tallaran al punt $$(x_3,y_3)$$. La recta $$h$$ ens diu que $$x=0$$, per tant el punt de tall entre les dues rectes és: $$$(0,g(0))=(0,6) \Rightarrow (x_3,y_3)=(0,6)$$$ Aquest punt compleix totes les inequacions, per tant serà un dels vèrtexs de la regió factible.

  • $$g$$ amb $$i$$: Tallaran al punt $$(x_4,x_4)$$. Calculem aquestes coordenades: $$$g(x_4)=i(x_4) \Rightarrow -\dfrac{2}{5}x_2+6=0 \Rightarrow x_4=15 $$$ $$$y_4=g(x_4)=i(x_4)=0 \Rightarrow (x_4,y_4)=(15,0)$$$ Aquest punt no compleix la inequació $$4x+5y\leqslant 40$$, per tant aquest no és un dels vèrtexs de la regió factible.

  • $$h$$ amb $$i$$: Tallaran al punt $$(x_5,x_5)$$. Les rectes $$h$$ i $$i$$ ens diuen respectivament que $$x=0$$ i $$y=0$$, per tant el punt de tall serà on tallen els eixos, és a dir en l'origen: $$(x_5,x_5)=(0,0)$$. Aquest punt compleix totes les inequacions, per tant serà un dels vèrtexs de la regió factible.

Solució:

i) Les rectes associades i regions de validesa de les restriccions són:

  • $$f:\ y=-\dfrac{4}{5}x+8$$ i la seva regió factible està per sota de la recta.
  • $$g:\ y=-\dfrac{2}{5}x+6$$ i la seva regió factible està per sota de la recta.
  • $$h:\ x=0 $$ aquesta recta coincideix amb l'eix $$y$$, i la seva regió factible és a la dreta d'aquest eix.
  • $$i:\ y=0$$ aquesta recta coincideix amb l'eix $$x$$, i la seva regió factible està per sobre d'aquest eix.

La zona factible comú a totes les inequacions està fitada.

ii) Els vèrtexs de la zona factible comuna a totes les restriccions són:

  • $$(x_0,y_0)=(5,4)$$ (punt de tall de $$f$$ amb $$g$$).

  • $$(x_2,y_2)=(8,0)$$ (punt de tall de $$f$$ amb $$i$$).

  • $$(x_3,y_3)=(0,6)$$ (punt de tall de $$g$$ amb $$h$$).

  • $$(x_5,x_5)=(0,0)$$ (punt de tall de $$h$$ amb $$i$$).

No tots els punts en què es tallen les rectes són vèrtexs de la zona factible. Per això hem hagut de comprovar quins punts compleixen totes les restriccions simultàniament.

Amagar desenvolupament i solució
Veure teoria