Si en comptes de sumar només els $$n$$ primers termes d'una successió, els volem sumar tots, escriurem: $$$S=\sum_{n \geq 1} a_n$$$
Per indicar que estem sumant tots els termes a partir del primer. A aquesta suma $$S$$ l'anomenem sèrie.
Si la successió de la qual estem calculant la seva sèrie és una progressió geomètrica, podem estendre la fórmula: $$$S_n=\dfrac{a_1\cdot (1-r^n)}{1-r}$$$ i en fer tendir $$n$$ a infinit, es poden donar dues situacions,
$$$\left\{ \begin{array}{l} \mbox{si} \ r\leq 1 \Rightarrow r^n\rightarrow \infty \\\\ \mbox{si} \ r < 1 \Rightarrow r^n\rightarrow 0 \end{array} \right.$$$
Amb el que ens queden dues opcions:
- En una progressió geomètrica de raó $$r \geq 1$$, les sumes $$S_n$$ creixen arbitràriament en augmentar el valor de $$n$$, i es diuen que tendeixen a infinit, o que la sèrie és divergent.
- Per contra, una progressió geomètrica de raó $$r < 1$$ les sumes $$S_n$$ s'estacionen i s'acosten cada vegada més a la quantitat: $$$S=\dfrac{a_1}{1-r}$$$ que anomenem suma de la sèrie. En aquest cas direm que la sèrie és convergent.
Continuant amb els exemples anteriors,
$$\sum_{n \geq 1}a_n = \sum_{n \geq 1}3\cdot 2^{n-1}$$ és divergent per ser la sèrie d'una progressió geomètrica de raó $$r=2 \geq 1$$, mentre que la sèrie: $$\sum_{n \geq 1}b_n = \sum_{n \geq 1}\dfrac{7}{3^{n-1}}=\dfrac{b_1}{1-r}=\dfrac{7}{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{21}{2}$$ és convergent ja que és la sèrie d'una progressió geomètrica de raó $$r=\dfrac{1}{3} < 1.$$