L'objectiu és trobar una fórmula que ens permeti calcular el producte dels primers termes d'una progressió geomètrica sense necessitat de calcular.
Per fer-ho, utilitzarem la següent propietat:
Si es consideren $$n$$ termes d'una progressió geomètrica, el producte de dos termes equidistants dels extrems coincideix amb el producte dels extrems. És a dir, el producte del primer i l'últim terme coincideix amb el producte del segon i el penúltim i amb el producte del tercer i l'antepenúltim, etc, sigui quina sigui la quantitat de termes que estiguem considerant d'una progressió geomètrica.
Considerem la progressió geomètrica amb primer terme $$a_1=2^0=1$$ i raó $$r=2.$$
Els seus sis primers termes són:
$$a_1=2^0=1$$, $$a_2=2^1=2$$, $$a_3=2^2=4$$, $$a_4=2^3=8$$, $$a_5=2^4=16$$, $$a_6=2^5=32.$$
Si fem el producte entre els termes equidistants, obtenim:
$$a_1 \cdot a_6=2^0 \cdot 2^5=2^5$$, $$a_2 \cdot a_5=2^1 \cdot 2^4=2^5$$, $$a_3 \cdot a_4=2^2 \cdot 2^3=2^5.$$
Amb la qual cosa, obtenim que efectivament el producte de termes equidistants als extrems és igual al producte dels extrems.
Això és degut a que els termes equidistants s'obtenen incrementant el primer i reduint l'últim amb la mateixa proporció, per tant, el producte d'aquests dos factors ha de coincidir amb el producte dels factors de partida: els extrems.
Siguin $$a_1$$ i $$a_n$$ els extrems, i sigui $$a_{1+k}$$ un terme situat $$k$$ posicions després del primer, i $$a_{n-k}$$ un terme situat $$k$$ posicions abans de l'últim, volem veure que $$a_1\cdot a_n=a_{1+k}\cdot a_{n-k}$$.
Com aquests termes formen part d'una progressió geomètrica, sabem que:
$$$a_{1+k}=a_1\cdot r^{1+k-1}=a_1\cdot r^k$$$ $$$a_{n-k}=a_n\cdot r^{n-k-n}=a_n\cdot r^{-k}$$$
I d'aquí:
$$$a_{1+k}\cdot a_{n-k} =(a_1\cdot r^k)\cdot (a_n\cdot r^{-k})=(a_1 \cdot a_n)\cdot (r^k\cdot r^{-k})=a_1 \cdot a_n$$$ que és el que volíem veure.
D'aquí tenim que el producte $$P_n$$ dels $$n$$ primers termes d'una progressió geomètrica val:
$$$P_n=\sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n} $$$
En efecte, si $$a_1,a_2,\ldots,a_{n-1},a_n$$ són els $$n$$ primers termes, serà: $$P_n=a_1\cdot a_2 \cdot \ \ldots \ \cdot a_{n-1}\cdot a_n$$, o bé, $$P_n=a_n \cdot a_{n-1} \cdot \ \ldots \ \cdot a_2 \cdot a_1$$.
Si es multipliquen les dues igualtats membre a membre, obtenim:
$$(P_n)^2=(a_1\cdot a_2 \cdot \ \ldots \ \cdot a_{n-1}\cdot a_n)(a_n \cdot a_{n-1} \cdot \ \ldots \ \cdot a_2 \cdot a_1)=$$
$$=(a_1\cdot a_n)(a_2\cdot a_{n-1})\cdots (a_{n-1}\cdot a_2)(a_n\cdot a_1)$$
En el segon membre apareixen $$n$$ parèntesis que contenen el producte de dos termes equidistants als extrems que com acabem de veure és igual al producte dels extrems.
Així que:
$$(P_n)^2=(a_1\cdot a_n)(a_1\cdot a_n)\cdot \overset{n)}{\ldots} \cdot (a_1\cdot a_n)(a_1\cdot a_n)=(a_1\cdot a_n)^n$$
I traient arrel quadrada obtenim:
$$P_n=\sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n}$$ que és el que volíem veure.
Per calcular el producte dels sis primers múltiples de $$2$$, ens fixem que es tracta d'una progressió geomètrica de primer terme $$a_1=2^0=1$$ i raó $$r=2$$.
Així que el seu terme general és: $$a_n=2^{n-1}$$, i el sisè terme és: $$a_6=2^{6-1}=2^5$$, així que el producte dels sis primers és: $$$P_6=\sqrt{(a_1\cdot a_n)^6}=\sqrt{(1\cdot 2^5)^6}=\sqrt{2^30}=2^{15}=32.768$$$
Per facilitar l'escriptura i simplificar la notació, per denotar el producte d'una gran quantitat de números que no podem escriure explícitament, utilitzarem la lletra grega Pi majúscula: $$\prod.$$
A la part inferior escriurem respecte que variable estem multiplicant i a partir que terme, mentre que a la part superior escriurem l'últim terme a sumar.
En l'exemple anterior, resumirem multiplicar les sis primeres potències de dos amb: $$$P_6=\prod_{n=1}^6 2^{n-1}$$$
I multiplicar els tres-cents primers termes de la successió $$a_n=-2\Big(-\dfrac{3}{7}\Big)^n$$ ho escriurem: $$$P_{300}=\prod_{n=1}^{300} -2\Big(-\dfrac{3}{7}\Big)^n$$$