Si en vez de sumar solamente los $$n$$ primeros términos de una sucesión, los queremos sumar todos, escribiremos: $$$S=\sum_{n \geq 1} a_n$$$
Para indicar que estamos sumando todos los términos a partir del primero. A esta suma $$S$$ la denominamos serie.
Si la sucesión de la que estamos calculando su serie es una progresión geométrica, podemos extender la fórmula: $$$S_n=\dfrac{a_1\cdot (1-r^n)}{1-r}$$$ y al hacer tender $$n$$ a infinito, se pueden dar dos situaciones,
$$$\left\{ \begin{array}{l} \mbox{si} \ r\leq 1 \Rightarrow r^n\rightarrow \infty \\\\ \mbox{si} \ r < 1 \Rightarrow r^n\rightarrow 0 \end{array} \right.$$$
Con lo que nos quedan dos opciones:
- En una progresión geométrica de razón $$r \geq 1$$, las sumas $$S_n$$ crecen arbitráriamente al aumentar el valor de $$n$$, y se dicen que tienden a infinito, o que la serie es divergente.
- Por el contrario, una progresión geométrica de razón $$r < 1$$ las sumas $$S_n$$ se estacionan y se acercan cada vez más a la cantidad: $$$S=\dfrac{a_1}{1-r}$$$ que llamamos suma de la serie. En este caso diremos que la serie es convergente.
Continuando con los ejemplos anteriores,
$$\sum_{n \geq 1}a_n = \sum_{n \geq 1}3\cdot 2^{n-1}$$ es divergente por ser la serie de una progresión geométrica de razón $$r=2 \geq 1$$, mientras que la serie:
$$$\sum_{n \geq 1}b_n = \sum_{n \geq 1}\dfrac{7}{3^{n-1}}=\dfrac{b_1}{1-r}=\dfrac{7}{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{21}{2}$$$
es convergente ya que es la serie de una progresión geométrica de razón $$r=\dfrac{1}{3} < 1.$$