Calcula el valor de la fracció, suposant que en el numerador i al denominador hi ha infinits termes:
$$\dfrac{-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{16}-\ldots}{\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{45}+\ldots}$$
Desenvolupament:
Estudiem primer el valor del numerador: $$-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{16}-\ldots$$
És la suma d'una progressió geomètrica de primer terme $$a_1=-\dfrac{1}{2}$$, i raó $$r=\dfrac{1}{2}$$, així que val:
$$$-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{16}-\ldots = \sum_{n\geq 1}-\dfrac{1}{2^n}=\dfrac{-\dfrac{1}{2}}{1-\dfrac{1}{2}}=-1$$$
A continuació mirem el valor del denominador: $$\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{45}+\ldots$$
Torna a ser la suma d'una progressió geomètrica, aquesta vegada de primer terme $$b_1=\dfrac{3}{5}$$ i raó $$r=\dfrac{1}{3}$$, així que:
$$$\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{45}+\ldots = \sum_{n\geq 1}\dfrac{1}{5\cdot 3^{n-2}}=\dfrac{\dfrac{3}{5}}{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{9}{10}$$$
D'aquesta manera ens queda que:
$$$\dfrac{-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{16}-\ldots}{\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{45}+\ldots} = \dfrac{-1}{\dfrac{9}{10}}=-\dfrac{10}{9}$$$
Solució:
$$-\dfrac{10}{9}$$