Sistemes d'equacions lineals n x m

Quan s'obté un conjunt d'equacions lineals parlarem d'un sistema d'equacions lineals. En general aquest pot tenir $$n$$ incògnites i $$m$$ equacions.

Sigui doncs el sistema $$$\left\{ \begin{array}{c} x+y+t=0 \\ x-y-t=2 \end{array} \right.$$$

En aquest cas $$n=3$$ i $$m=2$$, ja que tenim $$3$$ incògnites $$(x,y,t)$$ i només dues equacions.

La manera més general d'escriure un sistema és la següent: $$$\left\{ \begin{array}{c} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\ldots+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\ldots+a_{2n}x_n=b_2 \\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+\ldots+a_{3n}x_n=b_3 \\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+a_{m3}x_3+\ldots+a_{mn}x_n=b_m \end{array} \right.$$$

On els $$a$$ són coeficients, les $$x$$ són les incògnites (n'hi ha $$n$$) i els $$b$$ són els termes independents (n'hi ha $$m$$). En general $$n$$ i $$m$$ no tenen perquè ser el mateix nombre, podent ser $$n > m$$, $$n < m$$.

Cal remarcar que quan el sistema té poques incògnites, és a dir, quan $$n$$ és petit, les incògnites solen anomenar-se amb lletres diferents $$(x, y, t, z, \ldots)$$ en lloc d'utilitzar el subíndexs.

A més si tots els termes $$b$$ són nuls es diu que és un sistema homogeni.

En el cas de sistemes d'equacions també s'anomena sistemes equivalents a aquells que tenen les solucions iguals.

Una manera alternativa d'escriure el sistema d'equacions consisteix a escriure la matriu dels coeficients de la manera següent:

$$$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & b_2 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} & b_m \end{pmatrix}$$$

(Normalment s'haurà de reescriure el sistema mitjançant la seva matriu per poder utilitzar els mètodes de resolució habituals.)

En general els sistemes d'equacions podran classificar-se segons tinguin o no solució, i en el cas afirmatiu si tenen una o infinites.

La classificació és de la manera següent:

  • Sistema INCOMPATIBLE: No té solució
  • Sistema COMPATIBLE:
    • Compatible determinat (Solució única)
    • Compatible indeterminat (Infinites solucions)