Sistemas de ecuaciones lineales n x m

Cuando se obtiene un conjunto de ecuaciones lineales hablamos de un sistema de ecuaciones lineales. En general este puede tener $$n$$ incógnitas y $$m$$ ecuaciones.

Sea pues el sistema $$$\left\{ \begin{array}{c} x+y+t=0 \\ x-y-t=2 \end{array} \right.$$$

En este caso $$n=3$$ y $$m=2$$, pues tenemos $$3$$ incógnitas $$(x,y,t)$$ y solamente dos ecuaciones.

La manera más general de escribir un sistema es la que sigue: $$$\left\{ \begin{array}{c} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\ldots+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\ldots+a_{2n}x_n=b_2 \\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+\ldots+a_{3n}x_n=b_3 \\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+a_{m3}x_3+\ldots+a_{mn}x_n=b_m \end{array} \right.$$$

Donde los $$a$$ son coeficientes, las $$x$$ son las incógnitas (hay $$n$$) y los $$b$$ son los términos independientes (hay $$m$$). En general $$n$$ y $$m$$ no tienen porque ser el mismo número, pudiendo ser $$n > m$$, $$n < m$$.

Cabe remarcar que cuando el sistema tiene pocas incógnitas, o sea, cuando $$n$$ es pequeño, las incógnitas suelen llamarse con letras diferentes $$(x, y, t, z, \ldots)$$ en vez de usar lo subíndices.

Además si todos los términos $$b$$ son nulos se dice que es un sistema homogéneo.

En el caso de sistemas de ecuaciones también se llama sistemas equivalentes a aquellos cuyas soluciones son iguales.

Una manera alternativa de escribir el sistema de ecuaciones consiste en escribir la matriz de los coeficientes como sigue:

$$$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & b_2 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} & b_m \end{pmatrix}$$$

(Normalmente se deberá reescribir el sistema mediante su matriz para poder utilizar los métodos de resolución habituales.)

En general los sistemas de ecuaciones podrán clasificarse según tengan o no solución, y en el caso afirmativo si tienen una o infinitas.

La clasificación será como sigue:

  • Sistema INCOMPATIBLE: No tiene solución
  • Sistema COMPATIBLE:
    • Compatible determinado (Solución única)
    • Compatible indeterminado (Infinitas soluciones)