Definicions
Donat un polinomi quadràtic $$q(x,y,z)$$, sigui $$\overline{A}$$ la seva matriu i $$A$$ la seva matriu principal. Definim els nombres reals $$D_i=D_i(\overline{A}), 1 \leq i \leq 4, d_i=d_i(A), 1\leq i \leq 3 $$ per les fórmules següents: $$$det(\lambda \cdot I_4-\overline{A})=\lambda^4 -D_1\lambda^3+D_2\lambda^2-D_3\lambda +D_4$$$ $$$det(\lambda \cdot I_3-A)=\lambda^3-d_1\lambda^2+d_2\lambda - d_3$$$ L'expressió $$D_4=det(\overline{A})$$ s'anomena discriminant de $$q(x,y,z)$$. Anàlogament, l'expressió $$d_3=det(A)$$ s'anomena discriminant de la part principal de $$q(x,y,z)$$. Remarquem que $$$d_1=a+b+c \ d_2=ab+ac+bc-(f^2+g^2+h^2)$$$
En la classificació efectiva de les quàdriques intervé encara un altre factor més, que es diu índex, denotat per $$j$$, o índex de la part principal. L'índex principal de $$q(x,y,z)$$ és $$1$$ si $$d_1d_3 < 0$$ o $$d_2 < 0$$, i $$0$$ en cas contrari.
Classificació euclidiana de les quàdriques
Obtenció de les equacions reduïdes a partir dels invariants
Suposem que tenim una quàdrica donada per l'equació $$q(x,y,z)=0$$ en un sistema de coordenades rectangulars$$(x,y,z)$$. Suposem que també hem determinat l'espècie de la quàdrica mitjançant l'esquema anterior i tenim calculats els seus valors propis $$\lambda_1, \lambda_2$$ i $$\lambda_3$$ de la matriu principal de $$q(x,y,z)$$.
Quàdriques del tipus centrat
Si la quàdrica és del tipus centrat, la forma reduïda $$$\displaystyle \lambda_1 x^2+\lambda_2y^2+\lambda_3z^2+\frac{D_4}{d_3}=0$$$referida a un sistema de coordenades rectangular convenient, defineix una quàdrica que coincideix amb $$Q$$.
Quàdriques del tipus parabòlic
Hi ha dos valors propis no nuls $$\lambda_1>0$$ i $$\lambda_2$$. La quàdrica es defineix la forma reduïda$$$\displaystyle \lambda_1x^2+\lambda_2y^2-2z\sqrt{\frac{-D_4}{d_2}}=0$$$referida a un sistema de coordenades convenient, coincideix amb $$Q$$.
Quàdriques degenerades
Els cons ja han estat considerats. Pel que fa a les altres degenerades, l'obtenció d'una equació reduïda a partir dels invariants és equivalent a l'obtenció de les equacions reduïdes de les còniques. Per a les quàdriques del tipus cilíndric centrat, per exemple, la forma reduïda és $$$\displaystyle \lambda_1x^2+\lambda_2y^2+\frac{D_3}{d_2}=0$$$ i per a les del tipus cilíndric parabòlic, la seva forma reduïda és $$$\displaystyle \lambda_1x^2-2y\sqrt{\frac{-D_3}{d_1}}=0$$$
Finalment, la forma reduïda d'un parell de rectes paral·leles és $$$\displaystyle \lambda_1x^2+\frac{D_2}{d_1}=0$$$
Com a punt final al nivell, es pot calcular el volum d'un el·lipsoide real mitjançant els invariants euclidians. La seva fórmula és $$$\displaystyle A=\frac{4}{3}\pi \sqrt{\frac{D_4^3}{d_3^3}}$$$
Donada la quàdrica $$$x^2+y^2+2xz+6z-2=0$$$ Classifiqueu-la mitjançant els invariants euclidians.
La matriu associada a la quàdrica és $$$\overline{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & -2 \end{bmatrix}$$$ Un cop obtinguda la matriu, anem a calcular els invariants euclidians. Per fer-ho, anem a considerar els següents determinants: $$$det(x \cdot I-\overline{A})=x^4-13x^2+19x-7 \\ det (x \cdot I - A)=x^3-2x^2+1$$$ A la vista dels dos determinants, els invariants euclidians són els següents: $$$\left \{ \begin{array}{l} D_1=0 \\ D_2=-13 \\ D_3=-19 \\ D_4=-7\end{array} \right.$$$ i $$$\left\{ \begin{array}{l} d_1=2 \\ d_2=0 \\ d_3=-1 \end{array} \right.$$$ Un cop obtinguts els invariants euclidians, només falta calcular el seu índex. Com $$d_1d_3 < 0$$, l'índex és $$1$$. Per tant, per l'esquema de classificació, tenim que:
$$D_4 < 0, d_3\neq 0$$ i $$J=1$$.
Per tant, es tracta d'un hiperboloide el·líptic.
Donada la quàdrica $$$q(x,y,z)=x^2+4xy+2xz+4y^2+4yz+z^2+2x=0$$$ anem a classificar-la mitjançant els invariants euclidians.
Calculem la matriu associada a la quàdrica i després els seus polinomis característics associats a la matriu i a la matriu principal: $$$\overline{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$$ $$$det(\overline{A}-x \cdot I-\overline{A})=x^4-6x^3-x^2+5x \\ det (A-x \cdot I)=-x^3+6x^2$$$ Per tant, tenim que els invariants euclidians són: $$$\left\{\begin{array}{l} D_1 = 6\\D_2=-1 \\ D_3=-5 \\ D_4 =0 \end{array} \right.$$$ i $$$\left\{ \begin{array}{l} d_1=6 \\ d_2=0 \\ d_3=0 \end{array}\right.$$$ Per tant, mitjançant l'esquema de classificació dels invariants euclidians, tenim que la quàdrica és un cilindre parabòlic.