Definiciones
Dado un polinomio cuadrático $$q(x,y,z)$$, sea $$\overline{A}$$ su matriz y $$A$$ su matriz principal. Definimos los números reales $$D_i=D_i(\overline{A}), 1 \leq i \leq 4, d_i=d_i(A), 1\leq i \leq 3 $$ por las fórmulas: $$$det(\lambda \cdot I_4-\overline{A})=\lambda^4 -D_1\lambda^3+D_2\lambda^2-D_3\lambda +D_4$$$ $$$det(\lambda \cdot I_3-A)=\lambda^3-d_1\lambda^2+d_2\lambda - d_3$$$ La expresión $$D_4=det(\overline{A})$$ se denomina discriminante de $$q(x,y,z)$$. Análogamente, la expresión $$d_3=det(A)$$ se llama discriminante de la parte principal de $$q(x,y,z)$$. Remarcamos que $$$d_1=a+b+c \ d_2=ab+ac+bc-(f^2+g^2+h^2)$$$
En la clasificación efectiva de las cuádricas interviene aún otro factor más, que se llama índice, denotado por $$j$$, o índice de la parte principal. El índicde principal de $$q(x,y,z)$$ es $$1$$ si $$d_1d_3 < 0$$ o $$d_2 < 0$$, y $$0$$ en otro caso.
Clasificación euclidiana de las cuádricas
Obtención de las ecuaciones reducidas a partir de los invariantes
Supongamos que tenemos una cuádrica dada por la ecuación $$q(x,y,z)=0$$ en un sistema de coordenadas rectangulares$$(x,y,z)$$. Supongamos que también hemos determinado la especie de la cuádrica mediante el esquema anterior i tenemos calculados sus valores propios $$\lambda_1, \lambda_2$$ y $$\lambda_3$$ de la matriz principal de $$q(x,y,z)$$.
Cuádricas del tipo centrado
Si la cuádrica es del tipo centrado, la forma reducida $$$\displaystyle \lambda_1 x^2+\lambda_2y^2+\lambda_3z^2+\frac{D_4}{d_3}=0$$$referida a un sistema de coordenadas rectangular conveniente, define una cuádrica que coincide con $$Q$$.
Cuádricas del tipo parabólico
Hay dos valores propios no nulos $$\lambda_1>0$$ y $$\lambda_2$$. La cuádrica definida por la forma reducida$$$\displaystyle \lambda_1x^2+\lambda_2y^2-2z\sqrt{\frac{-D_4}{d_2}}=0$$$referida a un sistema de coordenadas conveniente, coincide con $$Q$$.
Cuádricas degeneradas
Los conos ya han sido considerados. Por lo que respecta a las otras degeneradas, la obtención de una ecuación reducida a partir de los invariantes es equivalente a la obtención de las ecuaciones reducidas de las cónicas. Para las cuádricas del tipo cilíndrico centrado, por ejemplo, la forma reducida es $$$\displaystyle \lambda_1x^2+\lambda_2y^2+\frac{D_3}{d_2}=0$$$ y para las del tipo cilíndrico parabólico, su forma reducida es $$$\displaystyle \lambda_1x^2-2y\sqrt{\frac{-D_3}{d_1}}=0$$$
Finalmente, la forma reducida de un par de rectas paralelas es $$$\displaystyle \lambda_1x^2+\frac{D_2}{d_1}=0$$$
Como punto final al nivel, se puede calcular el volumen de un elipsoide real mediante los invariantes euclidianos. Su fórmula es $$$\displaystyle A=\frac{4}{3}\pi \sqrt{\frac{D_4^3}{d_3^3}}$$$
Dada la cuádrica $$$x^2+y^2+2xz+6z-2=0$$$ clasificadla mediante los invariantes euclídeos.
La matriz asociada a la cuádrica es $$$\overline{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & -2 \end{bmatrix}$$$ Una vez obtenida la matriz, vamos a calcular los invariantes euclídeos. Para hacerlo, vamos a considerar los siguientes determinantes: $$$det(x \cdot I-\overline{A})=x^4-13x^2+19x-7 \\ det (x \cdot I - A)=x^3-2x^2+1$$$ A la vista de los dos determinantes, los invariantes euclídeos son los siguientes: $$$\left \{ \begin{array}{l} D_1=0 \\ D_2=-13 \\ D_3=-19 \\ D_4=-7\end{array} \right.$$$ y $$$\left\{ \begin{array}{l} d_1=2 \\ d_2=0 \\ d_3=-1 \end{array} \right.$$$ Una vez obtenidos los invariantes euclídeos, solo falta calcular su índice. Como $$d_1d_3 < 0$$, el índice es $$1$$. Por lo tanto, por el esquema de clasificación, tenemos que:
$$D_4 < 0, d_3\neq 0$$ y $$J=1$$.
Por lo tanto, se trata de un hiperboloide elíptico.
Dada la cuádrica $$$q(x,y,z)=x^2+4xy+2xz+4y^2+4yz+z^2+2x=0$$$ vamos a clasificarla mediante los invariantes euclídeos.
Calculamos la matriz asociada a la cuádrica y luego sus polinomios característicos asociados a la matriz y a la matriz principal: $$$\overline{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$$ $$$det(\overline{A}-x \cdot I-\overline{A})=x^4-6x^3-x^2+5x \\ det (A-x \cdot I)=-x^3+6x^2$$$ Por lo tanto, tenemos que los invariantes euclídeos son: $$$\left\{\begin{array}{l} D_1 = 6\\D_2=-1 \\ D_3=-5 \\ D_4 =0 \end{array} \right.$$$ y $$$\left\{ \begin{array}{l} d_1=6 \\ d_2=0 \\ d_3=0 \end{array}\right.$$$ Por lo tanto, mediante el esquema de clasificación de los invariantes euclídeos, tenemos que la cuádrica es un cilindro parabólico.