Equacions reduïdes i canòniques de les quàdriques

El nostre objectiu és passar de l'equació general d'una quàdrica $$q(x,y,z)=0$$ a una de les equacions canòniques de les quàdriques. Per fer-ho, obtindrem primer les anomenades formes reduïdes i a partir d'aquestes obtindrem les equacions canòniques.

Obtenció de les equacions reduïdes

Direm que un polinomi quadràtic $$q(x,y,x)=0$$ és reduït, o que la quàdrica $$Q$$ és reduïda, si la seva forma és una de les següents:

1. CENTRADA: $$\mu_1x^2+\mu_2y^2+\mu_3z^2+\mu$$, amb $$\mu_1,\mu_2>0$$ i $$\mu_3\neq 0$$
2. PARABÒLICA: $$\mu_1x^2+\mu_2y^2-2z$$, amb $$\mu_1>0$$ i $$\mu_2\neq 0$$
3. CILÍNDRICA CENTRADA: $$\mu_1 x^2+\mu_2y^2+\mu$$, amb $$\mu_1>0$$ i $$\mu_2\neq 0$$
4. CILÍNDRICA PARABÒLICA: $$\mu_1x^2-2z$$, amb $$\mu_1>0$$
5. PLANS PARAL·LELS: $$\mu_1x^2+\mu$$, amb $$\mu_1>0$$

En aquesta primera secció, el nostre objectiu serà convertir una equació general d'una cònica a una que sigui d'algun tipus anterior. Per aconseguir-ho, s'usa el següent resultat:

"Donat un sistema de coordenades rectangulars $$X=(x,y,z)$$ i un polinomi quadràtic $$q(x,y,z)$$, existeix un sistema de coordenades rectangulars $$X'=(x',y',z')$$ tal que la part principal del polinomi $$q(x',y',z')$$ té la forma $$$\lambda_1 x'^2+\lambda_2 y'^2+\lambda_3 z'^3$$$ amb $$\lambda_1,\lambda_2$$ i $$\lambda_3 \in \mathbb{R}$$ l'anomenen forma diagonal.

A més a més,$$\lambda_1,\lambda_2$$ i $$\lambda_3$$ són els valors propis de la matriu principal de $$q (x, y, z)$$.

Per començar, doncs, donada una equació general d'una quàdrica de la forma $$q(x,y,z)=0$$, calculem primer la matriu principal associada $$A$$.

Un cop obtinguda la matriu principal associada a la quàdrica, calculem el polinomi característic per calcular els valors propis d'aquesta matriu.

Recordem que per calcular el polinomi característic, s'ha de calcular el determinant $$det(A- \lambda I)$$.

Un cop obtinguts els valors propis, pel resultat enunciat amb anterioritat, sabem que hi ha un canvi de variables que ens passa de l'equació general a una equació de la forma $$$\lambda_1 x^2+\lambda_2y^2+\lambda_3z^2+2px+2qy+2rz+d$$$

Un cop obtinguda la primera reducció, anem a considerar diferents casos per anar obtenint les diferents formes reduïdes.

• Si $$\lambda_1\lambda_2\lambda_3\neq 0$$, obtenim una equació de la forma $$$\lambda_1 x^2+\lambda_2 y^2+\lambda_3 z^2+2px+2qy+2rz+d$$$ mitjançant tres completacions de quadrat i, si cal, un canvi de signe i una reordenació de les coordenades, ens porten a una forma reduïda del tipus centrat.

• Si hi ha exactament dues $$\lambda_i$$ no nul·les, podem suposar que $$\lambda_3=0$$ i $$\lambda_1\lambda_2 \neq 0$$. Completant el quadrat altre cop, arribem a un polinomi de la forma $$$\lambda_1 x^2+\lambda_2 y^2+2rz+d$$$ Ara se'ns obren dos nous casos:

  • Si $$r = 0$$, és clar que es tracta, potser després de reordenar les coordenades i de canviar de signe, d'una forma reduïda del tipus cilíndrica centrada.
  • Si $$r \neq 0$$, el canvi de $$z$$ per $$z-d/2r$$ ens porta a una equació de la forma $$$\lambda_1x^2+\lambda_2y^2+2rz$$$ amb $$r \neq 0$$, que òbviament és equivalent a una forma reduïda de tipus de parabòlic.

• Finalment, si hi ha un únic valor propi no nul, és clar que podem suposar que aquest valor propi és $$\lambda_1$$. Completant el quadrat respecte aquest valor propi, podem suposar que l'equació és de la forma $$$\lambda_1x^2+2qy+2rz+d$$$ A partit d'aquí, se'ns obren dos possibles casos:

  • Si $$q = r = 0$$, el polinomi és clarament equivalent a la forma reduïda d'un parell de plans paral·lels.
  • Si un dels dos valors és diferent de $$0$$, podem eliminar $$d$$ fent el canvi $$$y \longrightarrow y - \frac{d}{2q}$$$ si $$q \neq 0$$ o el canvi $$z \longrightarrow z- \frac{d}{2r}$$, si $$r \neq 0$$.

  Finalment podem fer el canvi de coordenades rectangulars tals que $$$\displaystyle \Big(x, \frac{1}{p}(qy+rz), \frac{1}{p}(-ry+qz)\Big) \longrightarrow (x',y',z')$$$ on $$$\displaystyle p=(q^2+r^2)^\frac{1}{2}$$$

  que ens porta a una forma reduïda de tipus cilíndric parabòlica.

Per tant, hem aconseguit portar una equació general d'una quàdrica a una equació del tipus reduït. A continuació, veurem que a partir d'una equació reduïda s'obté una equació canònica i d'aquesta, es podrà deduir quina cònica és.

Equacions canòniques

Anem a buscar les diferents equacions canòniques. Això ens permetrà classificar qualsevol tipus de quàdrica.

Per anar obtenint els diferents tipus d'equacions canòniques, ens anirem centrant en cadascuna de les formes reduïdes i en funció dels valors que prenguin els diferents paràmetres, obtindrem les diferents equacions canòniques.

Quàdriques de tipus centrat

Si $$\mu \neq 0$$ i definim nombres reals positius $$a, b, c$$ per les fórmules $$$\displaystyle a=\sqrt{\frac{|\mu|}{\mu_1}}, b=\sqrt{\frac{|\mu|}{\mu_2}}$$$ i $$$\displaystyle c=\sqrt{\frac{|\mu|}{|\mu_3|}}$$$ i l'equació reduïda adopta la forma $$$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \pm \frac{z^2}{c^2} \pm 1=0$$$ i les quatre possibilitats per als signes donen a lloc quatre quàdriques: l'elecció $$(+, +)$$ dóna un el·lipsoide imaginari; $$(+,-)$$ dóna un el·lipsoide real; $$(-, +)$$ dóna un hiperboloide no reglat; i $$(-,-)$$ dóna un hiperboloide reglat.

D'altra banda, si $$\mu = 0$$, definim els nombres reals positius $$a, b, c$$ per les fórmules $$$\displaystyle a=\sqrt{\frac{1}{\mu_1}}, b=\sqrt{\frac{1}{\mu_2}}$$$ i $$$c=\sqrt{\frac{1}{|\mu_3|}}$$$ amb la qual cosa l'equació reduïda s'escriu: $$$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \pm \frac{z^2}{c^2} =0$$$

L'elecció del signe positiu dóna a lloc a un con imaginari i la del signe negatiu a un con real.

Quàdriques de tipus parabòlic

Definim nombres reals $$a$$ i $$b$$ per les fórmules $$$\displaystyle a=\sqrt{\frac{1}{\mu_1}}$$$ and $$$ \displaystyle b=\sqrt{\frac{1}{|\mu_2|}}$$$

D'aquesta manera, l'equació reduïda adopta la forma $$$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} \pm \frac{y^2}{b^2} -2z=0$$$

L'elecció del signe positiu dóna lloc a un paraboloide el·líptic, i la del signe negatiu, a un paraboloide hiperbòlic.

Cilindres centrats

Suposem primer que $$\mu \neq 0$$. En aquest cas, si definim nombres reals positius per les fórmules $$$\displaystyle a=\sqrt{\frac{|\mu|}{\mu_1}}$$$ i $$$\displaystyle b=\sqrt{\frac{|\mu|}{|\mu_ 2|}}$$$ l'equació reduïda adopta la forma $$$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} \pm \frac{y^2}{b^2} \pm 1=0 $$$

L'elecció $$(+, +) $$ dels signes dóna lloc a un cilindre el·líptic imaginari; $$(+,-)$$ a un cilindre el·líptic real; $$(-, +)$$ i $$(-,-)$$ a cilindres hiperbòlics.

Si $$\mu =0$$, podem definir nombres reals positius $$a$$ i $$b$$ per les fórmules $$$\displaystyle a=\sqrt{\frac{1}{\mu_1}}$$$ i $$$\displaystyle b=\sqrt{\frac{1}{|\mu_2|}}$$$ i per tant l'equació reduïda adopta la forma $$$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} \pm \frac{y^2}{b^2}=0 $$$

L'elecció del signe positiu dóna a lloc a un parell de plans imaginaris conjugats i l'elecció del signe negatiu a un parell de plans reals.

Cilindres parabòlics

Si posem $$\displaystyle p= \frac{1}{\mu_1}$$ , l'equació reduïda s'escriu $$x^2-2py=0$$ que és un cilindre parabòlic.

Parell de plans paral·lels

Suposem, primer, que $$\mu \neq 0$$. Si posem $$$ \displaystyle k=\sqrt{\frac{|\mu|}{|\mu_1 |}}$$$ l'equació reduïda adopta la forma $$x^2 \pm k^2 = 0$$, $$k>0$$.

L'elecció del signe negatiu dóna un parell de plans paral·lels, i la del positiu un parell de plans paral·lels imaginaris conjugats.

Si $$\mu=0$$, l'equació reduïda és equivalent a una equació de la forma $$x^2=0$$, que representa un pla doble (dos plans paral·lels coincidents).

Ara, anem a donar un petit resum de com hem de procedir per poder donar una classificació afí de les quàdriques mitjançant tots els resultats anteriorment exposats.

• Per començar, donada l'equació general de la quàdrica, calculem la matriu principal associada $$A'$$. Un cop obtinguda la matriu, calculem el polinomi característic associat i busquem les seves arrels per així trobar els valors propis de la matriu $$A'$$. Llavors, l'equació de la quàdrica passarà a ser de la forma $$\lambda_1x^2+\lambda_2y^2+\lambda_3z^2+2px+2qy+2rz+d$$.
• Llavors, depenent de si algun dels valors propis és zero, completarem quadrats amb les coordenades que els seus valors propis siguin no nuls i tinguin termes lineals. Això ens permetrà obtenir una de les formes reduïdes.
  1. $$\mu_1x^2+\mu_2y^2+\mu_3z^2+\mu$$, amb $$\mu_1, \mu_2>0$$, $$\mu_3 \neq 0$$.
  2. $$\mu_1x^2+\mu_2y^2-2z$$, amb $$\mu_1>0$$, $$\mu_2 \neq 0$$.
  3. $$\mu_1x^2+\mu_2y^2+\mu$$, amb $$\mu_1>0$$, $$\mu_2 \neq 0$$.
  4. $$\mu_1x^2-2z$$, amb $$\mu_1>0$$.
  5. $$\mu_1x^2\mu$$, amb $$\mu_1>0$$.
• Un cop tinguem una de les diferents formes reduïdes, mitjançant diferents canvis de coordenades exposats a la secció de Equacions Canòniques, obtindrem una de les equacions canòniques. Un cop obtinguda, haurem passat d'una equació general a una equació canònica i per tant, haurem classificat la quàdrica.