Coordenades d'un punt, components d'un vector i punt mitjà d'un segment

Coordenades d'un punt al pla

Vegem com s'utilitzen els vectors per assignar coordenades als punts del pla.

Considerem un punt fix del pla $$O$$ (conegut com a origen), i una base $$B=\{\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\}$$ de $$V_2$$ (Espai vectorial de dimensió 2).

Recordem que una base de $$V_2$$ són dos vectors linealment independents. El conjunt format per $$O$$ i $$B=\{\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\}$$ constitueix un sistema de referència al pla, ja que permet determinar la posició de qualsevol altre punt del pla.

Això és degut a que qualsevol altre punt $$P$$ del pla determina amb el punt $$O$$ un vector $$\overrightarrow{OP}$$. Siguin $$(p_1,p_2)$$ les components del vector en la base $$B$$. Llavors $$(p_1,p_2)$$ són les coordenades del punt $$P$$ en el sistema de referència $$R=\{O;\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\}$$ i escrivim $$P =(p_1,p_2)$$.

El procediment per trobar les coordenades d'un punt $$P$$ en un sistema de referència donat és el següent:

1. A partir dels punts $$O$$ i $$P$$ determinem el vector $$\overrightarrow{OP}$$

2. Expressem el vector $$\overrightarrow{OP}$$ com a combinació lineal dels vectors de la base $$B=\{\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\}$$, és a dir, $$\overrightarrow{OP}=p_1 \cdot \overrightarrow{u}+p_2 \cdot \overrightarrow{v}$$

3. $$P=(p_1,p_2)$$

D'ara endavant considerarem com a sistema de referència $$R$$, el format per l'origen de coordenades $$O = (0, 0)$$ i la base canònica de $$V_2$$ $$B =\{\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\}$$.

Components d'un vector determinat per dos punts

Vegem ara la forma de determinar les components d'un vector si sabem les coordenades dels seus extrems.

Siguin $$P =(p_1,p_2)$$ i $$Q = (q_1,q_2)$$ dos punts del pla, i sigui $$\overrightarrow{PQ}$$ el vector que va de $$P$$ a $$Q$$. Llavors les components del vector $$\overrightarrow{PQ}$$ són $$\overrightarrow{PQ}=(q_1-p_1,q_2-p_2)$$.

Aplicar un vector a un punt

Donats un punt $$P$$ i un vector $$\overrightarrow{v}$$, el resultat d'aplicar el vector al punt és un nou punt $$Q$$ situat en la direcció de $$\overrightarrow{v}$$ i a una distància $$|\overrightarrow{v}|$$. (Mòdul del vector $$\overrightarrow{v}$$)

Les coordenades d'aquest nou punt $$Q$$ es calculen a partir de les de $$P =(p_1,p_2)$$ i $$\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)$$ com $$$Q = P +\overrightarrow{v}=(p_1+v_1,p_2+v_2)$$$

NOTA: És molt important tenir present que aquesta operació de "suma" només té sentit entre un punt i un vector. MAI hem de sumar dos punts, i el resultat de sumar dos vectors és un altre vector i no un punt!

Punt mitjà d'un segment

Considerem ara el segment d'extrems $$A = (a_1,a_2)$$ i $$B = (b_1,b_2)$$. Sigui $$M =(m_1,m_2)$$ el punt mitjà d'aquest segment. Evidentment aquest punt compleix que $$\overrightarrow{AB}=2\cdot \overrightarrow{AM}$$, és a dir que $$(b_1-a_1,b_2-a_2)=2\cdot (m_1-a_1,m_2-a_2)$$

Separant component a component obtenim: $$$\begin{array}{rcl} b_1-a_1 & = & 2 \cdot (m_1-a_1) \\ b_2-a_2 &=& 2\cdot (m_2-a_2) \end{array}$$$ i aïllant tenim: $$$\begin{array}{rcl} m_1 & = & \displaystyle \frac{a_1+b_1}{2}\\ m_2 &=& \displaystyle \frac{a_2+b_2}{2} \end{array}$$$ De manera que podem calcular les coordenades del punt mitjà d'un segment a partir de les coordenades dels seus extrems.