Perpendicularitat entre rectes

Dues rectes $$r$$ i $$s$$ són perpendiculars si i només si l'angle entre elles és de $$90^\circ$$. Això equival al fet que el cosinus de l'angle sigui igual a $$0$$ ($$\cos \widehat{(r,s)}=0$$) i per tant a que el producte escalar dels seus vectors directors sigui igual a $$0$$.

Si tenim les rectes $$Ax + By + C = 0$$ i $$A'x + B'y +C '= 0$$, els vectors directors d'aquestes rectes són $$\overrightarrow{u}= (-B, A)$$ i $$\overrightarrow{v}= (-B', A ')$$.

Per tant, si en coordenades imposem que el producte escalar dels dos vectors sigui $$0$$ tenim: $$$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0 \Leftrightarrow u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2=0 \Leftrightarrow -B \cdot (-B') + A \cdot A' = 0 \Leftrightarrow$$$ $$$\Leftrightarrow B\cdot B '+ A \cdot A' = 0 \Leftrightarrow A \cdot A '=-B · B' \Leftrightarrow \displaystyle \frac{A}{B}=-\frac{B'}{A'}$$$

Per tant ja tenim una manera de comprovar si dos vectors, i per tant dues rectes, són perpendiculars a partir dels seus components.

Si recordem a més que $$\displaystyle m_1=\frac{-A}{B}$$ i $$\displaystyle m_2=\frac{-A'}{B'}$$ són els pendents de $$r$$ i $$s$$, tenim que la condició de perpendicularitat és equivalent a $$m_1=\displaystyle -\frac{1}{m_2}$$

Recordem finalment que si tenim un vector $$\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)$$, un vector $$\overrightarrow{w}$$ perpendicular a $$\overrightarrow{v}$$ és $$\overrightarrow{w}=(-v_2,v_1)$$.