Donats $$3$$ vèrtexs d'un rombe $$ABCD$$, $$A = (1,-2)$$, $$B = (2,-3)$$, $$C = (7, 3)$$, trobeu les coordenades del vèrtex $$D$$ i del centre $$E$$.
Desenvolupament:
Si dibuixem els costats del rombe per veure millor la figura tenim:
Si ara recordem que un rombe és una figura amb els 4 costats iguals i angles oposats iguals tenim que $$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BD}$$ y $$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AD}$$.
Per tant si apliquem el vector $$\overrightarrow{CA}$$ al punt $$B$$ obtindrem el punt $$D$$, i anàlogament podem aplicar el vector $$\overrightarrow{CB}$$ al punt $$A$$ per obtenir el punt $$D$$.
Comencem calculant els vectors $$\overrightarrow{CA}$$ y $$\overrightarrow{CB}$$:
$$\overrightarrow{CA}=A-C=(1,-2)-(7,3)=(1-7,-2-3)=(-6,-5)$$
$$\overrightarrow{CB}=B-C=(2,-3)-(7,3)=(2-7,-3-3)=(-5,-6)$$
Si ara apliquem aquests vectors als punts $$B$$ i $$A$$ respectivament obtenim:
$$D=\overrightarrow{CA}+B=(-6,-5)+(2,-3)=(-4,-8)$$
$$D=\overrightarrow{CB}+A=(-5,-6)+(1,-2)=(-4,-8)$$
Per trobar les coordenades del punt $$E$$, podem fer-ho, per exemple, trobant les coordenades del punt mitjà dels segments $$CD$$ o $$AB$$.
$$$E=\dfrac{A+B}{2}=\Big(\dfrac{a_1+b_1}{2},\dfrac{a_2+b_2}{2} \Big)=\Big(\dfrac{1+2}{2},\dfrac{-2-3}{2}\Big)=\Big(\dfrac{3}{2},\dfrac{-5}{2}\Big)$$$
$$$E=\dfrac{C+D}{2}=\Big(\dfrac{c_1+d_1}{2},\dfrac{c_2+d_2}{2} \Big)=\Big(\dfrac{7-4}{2},\dfrac{3-8}{2}\Big)=\Big(\dfrac{3}{2},\dfrac{-5}{2}\Big)$$$
Solució:
$$D=(-4,8)$$
$$E=\Big(\dfrac{3}{2},-\dfrac{5}{2}\Big)$$