Angles entre rectes

Dues rectes secants $$r$$ i $$s$$ determinen quatre angles iguals dos a dos, això és perquè són angles oposats pel vèrtex. El més petit dels angles $$\alpha$$ i $$\beta$$ es defineix com l'angle entre les rectes $$r$$ i $$s$$.

imagen

En el cas del dibuix l'angle entre les rectes $$r$$ i $$s$$ seria $$\widehat{rx}=b$$.

Una manera de determinar aquest angle és a partir del producte escalar dels vectors directors de les rectes $$r$$ i $$s$$. Siguin $$\overrightarrow{u}$$ i $$\overrightarrow{v}$$ vectors directors de les rectes $$r$$ i $$s$$ respectivament.

El producte escalar dels vectors $$\overrightarrow{u}$$ i $$\overrightarrow {v}$$ és:$$$ \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|\cos \widehat{(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})}$$$Ara, fixem-nos que prenent un vector director de $$r$$ i un de $$s$$, l'angle format per aquests vectors coincideix amb l'angle entre les dues rectes, si és agut, o bé amb el seu suplementari si és obtús:

imagen

Per tant, el cosinus de l'angle entre les dues rectes coincidirà, exceptuant el signe, amb el de l'angle que formen els seus vectors directors, i per tant tenim que:$$$\cos \widehat{(r,s)}=|\cos \widehat{(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})}|$$$Aquest últim pas és degut a que $$$\cos (a) = - \cos (180 - a)$$$ Així, si aïllem a la fórmula del producte escalar, $$$\cos \widehat{(r,s)}=|\cos \widehat{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})}|=\displaystyle \frac{|\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|}$$$Nota: El producte escalar entre dos vectors $$\overrightarrow{u}=(u_1,u_2)$$ i $$\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)$$ es defineix com $$$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=u_1 \cdot v_1+u_2\cdot v_2$$$Per tant, si recordem que l'expressió del mòdul d'un vector és $$$\displaystyle |\overrightarrow{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}$$$Tenim que en coordenades l'expressió del cosinus de l'angle entre dues rectes és: $$$\cos \widehat{(r,s)}=|\cos \widehat{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})}|=\displaystyle \frac{|\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|}=\frac{|u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2|}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\sqrt{v_1^2+v_2^2}}$$$

Determina l'angle format per les rectes $$r$$ i $$s$$, les equacions de les quals són, respectivament, $$3x - 2y - 1 = 0$$ i $$-x + 2y - 3 = 0$$.

Siguin $$\overrightarrow{u}= (2, 3)$$ i $$\overrightarrow{v} = (2, 1)$$ vectors directors de les rectes $$r$$ i $$s$$ respectivament.

Llavors, aplicant la fórmula anterior tenim $$$\cos \widehat{(r,s)}=|\cos \widehat{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})}|=\displaystyle \frac{|\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|}=\frac{|u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2|}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\sqrt{v_1^2+v_2^2}}=$$$ $$$=\displaystyle\frac{|2 \cdot 2+ 3\cdot 1|}{\sqrt{2^2+3^2}\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{7}{\sqrt{65}}$$$ Per tant, si agafem la calculadora tenim que: $$$\widehat{rs}=\arccos(\cos (\widehat{rs}))=\arccos \Big(\displaystyle \frac{7}{\sqrt{65}}\Big)=29.7^\circ$$$