De la mateixa manera que hem definit la unió i la intersecció entre dos intervals, podem definir dues operacions sobre una família, o col·lecció, d'intervals.
Si tenim una col.lecció de $$n$$ intervals, i sigui $$n$$ un nombre natural qualsevol, definim la unió i la intersecció de la família de forma recursiva.
És a dir, donada una família finita d'intervals, $$\{J_1,J_2,\ldots,J_n\}$$ definim la seva unió com: $$$\bigcup_{k\leq n}J_k = \Big( \bigcup_{k\leq n-1} J_k \Big)\cup J_n$$$
I anàlogament, definim la intersecció com: $$$\bigcap_{k\leq n}J_k = \Big( \bigcap_{k\leq n-1} J_k \Big)\cap J_n$$$
Mitjançant un exemple ho veurem més clar:
Suposem que tenim la família d'intervals: $$$J_1=\Big(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\Big),J_2=\Big(-\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}\Big), J_3=\Big(\dfrac{2}{5},\dfrac{8}{3}\Big) \ \mbox{i}$$$ $$$ \ J_4=\Big[-\dfrac{2}{7},\dfrac{1}{8}\Big]$$$ I volem calcular la seva unió i intersecció.
Comencem per la unió: Segons la definició, per calcular la unió dels quatre intervals, cal saber quant val la unió dels tres primers. I per calcular aquesta unió, necessitarem la unió dels dos primers. Aquest procés és el que es coneix per recursivitat.
Comencem doncs calculant la unió dels dos primers:
$$\Big(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\Big)\cup\Big(-\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}\Big)=\Big(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\Big)$$ ja que $$\Big(-\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}\Big) \subseteq \Big(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\Big).$$
A continuació fem la unió dels tres primers intervals:
$$$J_1 \cup J_2\cup J_3=(J_1 \cup J_2)\cup J_3=\Big(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\Big)\cup \Big(\dfrac{2}{5},\dfrac{8}{3}\Big) =$$$ $$$= \Big(-\dfrac{1}{2},\dfrac{8}{3}\Big)$$$
Finalment, només ens falta fer la unió amb el quart interval:
$$$\bigcup_{n\leq 4} J_n = J_1\cup J_2\cup J_3\cup J_4=\Big(-\dfrac{1}{2},\dfrac{8}{3}\Big)\cup\Big[-\dfrac{2}{7},\dfrac{1}{8}\Big]=$$$ $$$=\Big(-\dfrac{1}{2},\dfrac{8}{3}\Big)$$$
Per fer la intersecció procedim de la mateixa manera. Primer fem la intersecció entre els dos primers, que en estar el segon inclòs al primer, la intersecció ens dóna el segon:
$$J_1 \cap J_2=\Big(-\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}\Big)$$
A continuació fem la intersecció amb el tercer interval:
$$(J_1 \cap J_2)\cap J_3 = \Big(-\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}\Big) \cap \Big(\dfrac{2}{5},\dfrac{8}{3}\Big)=\emptyset$$
Ja que $$\dfrac{1}{3} < \dfrac{2}{5}$$. Finalment, com la intersecció amb el buit és sempre buida, hem de:
$$\bigcap_{n\leq 4} J_n = J_1\cap J_2\cap J_3\cap J_4=\emptyset$$
També podem fer unions i interseccions de famílies no finites d'intervals.
En aquesta ocasió el problema que es planteja és que no es pot definir de forma recursiva, però s'adapta la definició buscant cap a on tendeix la successió d'unions o interseccions finites.
Per fer aquest estudi, mirem cap a quin tendeixen els extrems dels intervals i escollim el suprem o l'ínfim de la successió en cada cas:
En la unió,
- Per trobar l'extrem inferior busquem l'ínfim de la successió d'extrems inferiors.
- Per trobar l'extrem superior busquem el suprem de la successió d'extrems superiors.
I en la intersecció,
- Per trobar l'extrem inferior busquem el suprem de la successió d'extrems inferiors.
- Per trobar l'extrem superior busquem l'ínfim de la successió d'extrems superiors.
Per veure-ho clar, vegem un exemple:
Considerem la família d'intervals de la forma: $$$\Big(-\dfrac{1}{n},\dfrac{1}{n}\Big)$$$ i volem estudiar la unió i la intersecció de tots ells, si prenem diferents valors de $$n$$ naturals. El denotarem per:
$$$\bigcup_{n\geq 1}\Big(-\dfrac{1}{n},\dfrac{1}{n}\Big) \ \mbox{i} \ \bigcap_{n\geq 1}\Big(-\dfrac{1}{n},\dfrac{1}{n}\Big)$$$
Llavors, si considerem la successió de l'extrem inferior: $$\Big\{-\dfrac{1}{n}\Big\}_n$$ veiem que es tracta d'una successió estrictament creixent, i amb límit $$0$$.
Així mateix, la successió corresponent als límits superiors: $$\Big\{\dfrac{1}{n}\Big\}_n$$ és una successió estrictament decreixent i amb límit $$0$$.
El que ens dóna que la nostra successió d'intervals, $$$\Big\{\Big(-\dfrac{1}{n},\dfrac{1}{n}\Big)\Big\}_n$$$ va construint intervals cada vegada menors (l'extrem inferior creix, mentre l'extrem superior decreix) i tendeix a un interval tal que tots dos extrems són $$0$$: $$$(0,0)=\emptyset$$$
Un cop estudiades les dues successions, construïm la unió de la família d'intervals buscant l'ínfim i el suprem de $$\Big\{-\dfrac{1}{n}\Big\}_n$$ i $$\Big\{\dfrac{1}{n}\Big\}_n$$ respectivament, que en ambdós casos és el primer terme $$$a_1=-\dfrac{1}{1}=-1 \ \mbox{i} \ b_1=\dfrac{1}{1}=1$$$ per ser la primera successió creixent i la segona decreixent. En resum, tenim: $$$\bigcup_{n\geq 1}\Big(-\dfrac{1}{n},\dfrac{1}{n}\Big)=(-1,1)$$$
Anàlogament, per trobar la intersecció, busquem el suprem i l'ínfim de les dues successions, que equival als seus límits, per ser la primera creixent i la segona decreixent. D'aquesta manera, ens queda que $$$\bigcap_{n\geq 1}\Big(-\dfrac{1}{n},\dfrac{1}{n}\Big)=(0,0)=\emptyset$$$