Exercicis de Unió i intersecció arbitràries

Desenvolupament:

1. Com que l'extrem inferior de tots els intervals és el mateix, per trobar la intersecció, només necessitem trobar el ínfim dels extrems superiors.

   Per trobar-lo, anem a estudiar la successió d'extrems:

   $$\Big\{\dfrac{2n^2}{3n+1}\Big\}_{n\in\mathbb{N}}$$, es tracta d'una successió divergent (ja que el grau del numerador és més gran al grau del denominador), i és a més una successió creixent, de manera que, el mínim és el primer element del a successió: $$$a_2=\dfrac{2\cdot 2^2}{3\cdot 2 + 1}=\dfrac{8}{7}$$$ Així doncs, la intersecció ens queda: $$$\bigcap_{n\geq 2}\Big(1,\dfrac{2n^2}{3n+1}\Big)=\Big(1,\dfrac{8}{7}\Big)$$$

   Observem que si també haguéssim afegit el primer membre de la successió, com que $$$a_1=\dfrac{2\cdot 1^2}{3\cdot1+1}=\dfrac{1}{2}$$$ Hauríem d'afegir l'interval $$\Big(\dfrac{1}{2},1\Big)$$, i llavors la intersecció seria buida: $$$\bigcap_{n\geq 1}\Big(1,\dfrac{2n^2}{3n+1}\Big)=\emptyset$$$

2. Per estudiar aquesta unió, anem a estudiar el comportament de les successions dels extrems.

   Començant per l'extrem inferior:

   $$\Big\{-\dfrac{5n-1}{n+52}\Big\}_{n\in\mathbb{N}}$$ es tracta d'una successió convergent a $$-5$$ i decreixent:

   $$$-\dfrac{5n-1}{n+52} > -\dfrac{5(n+1)-1}{n+1+52}\dfrac{5n-1}{n+52} < \dfrac{5n+4}{n+53} $$$ $$$ (5n-1)(n+53) < (5n+4)(n+52)$$$ $$$ 5n^2+265n-n-53 < 5n^2+260n+4n+208$$$ $$$ 5n^2+264n - 53 < 5n^2+260n+4n+208 $$$ $$$ -53 < 208 $$$

   Així doncs, tenim que l'extrem inferior de la unió, és el límit de la successió, és a dir, $$-5$$.

   Estudiem ara el límit superior. La successió d'extrems és:

   $$\Big\{\dfrac{7n^2}{8+n}\Big\}_{n\in\mathbb{N}}.$$ En tenir el grau del numerador major que el grau del denominador, sabem que es tracta d'una successió creixent i divergent a $$+\infty$$, sent aquest el suprem d'aquesta successió.

   És a dir, hem de: $$$\bigcup_{n\geq 1}\Big[-\dfrac{5n-1}{n+52},\dfrac{7n^2}{8-n}\Big]=[-5,+\infty)$$$

Solució:

1. $$\bigcap_{n\geq 2}\Big(1,\dfrac{2n^2}{3n+1}\Big)=\Big(1,\dfrac{8}{7}\Big)$$
2. $$\bigcup_{n\geq 1}\Big[-\dfrac{5n-1}{n+52},\dfrac{7n^2}{8-n}\Big]=[-5,+\infty)$$

Amagar desenvolupament i solució