Unión e intersección arbitrarias

De la misma forma que se define la unión y la intersección entre dos intervalos, podemos definir ambas operaciones sobre una familia, o colección, de intervalos.

Si tenemos una colección de $$n$$ intervalos, siendo $$n$$ un número natural cualquiera, definimos la unión y la intersección de la familia de forma recursiva.

Es decir, dada una familia finita de intervalos, $$\{J_1,J_2,\ldots,J_n\}$$ definimos su unión como: $$$\bigcup_{k\leq n}J_k = \Big( \bigcup_{k\leq n-1} J_k \Big)\cup J_n$$$

Y análogamente, definimos la intersección como: . $$$\bigcap_{k\leq n}J_k = \Big( \bigcap_{k\leq n-1} J_k \Big)\cap J_n$$$

Mediante un ejemplo lo veremos más claro:

Supongamos que tenemos la familia de intervalos: $$$J_1=\Big(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\Big),J_2=\Big(-\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}\Big), J_3=\Big(\dfrac{2}{5},\dfrac{8}{3}\Big) \ \mbox{y}$$$ $$$ \ J_4=\Big[-\dfrac{2}{7},\dfrac{1}{8}\Big]$$$ Y queremos calcular su unión e intersección.

Empecemos por la unión: Según la definición, para calcular la unión de los cuatro intervalos, es necesario saber cuanto vale la unión de los tres primeros. Y para calcular esta unión, necesitaremos la unión de los dos primeros. Este proceso es el que se conoce por recursión.

Empezemos pues calculando la unión de los dos primeros:

$$\Big(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\Big)\cup\Big(-\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}\Big)=\Big(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\Big)$$ ya que $$\Big(-\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}\Big) \subseteq \Big(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\Big).$$

A continuación hacemos la unión de los tres primeros intervalos:

$$$J_1 \cup J_2\cup J_3=(J_1 \cup J_2)\cup J_3=\Big(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\Big)\cup \Big(\dfrac{2}{5},\dfrac{8}{3}\Big) =$$$ $$$= \Big(-\dfrac{1}{2},\dfrac{8}{3}\Big)$$$

Finalmente, solo nos falta hacer la unión con el cuarto intervalo:

$$$\bigcup_{n\leq 4} J_n = J_1\cup J_2\cup J_3\cup J_4=\Big(-\dfrac{1}{2},\dfrac{8}{3}\Big)\cup\Big[-\dfrac{2}{7},\dfrac{1}{8}\Big]=$$$ $$$=\Big(-\dfrac{1}{2},\dfrac{8}{3}\Big)$$$

Para hacer la intersección procedemos del mismo modo. Primero hacemos la intersección entre los dos primeros, que al estar el segundo incluido al primero, la intersección nos da el segundo:

$$J_1 \cap J_2=\Big(-\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}\Big)$$

A continuación hacemos la intersección con el tercer intervalo:

$$(J_1 \cap J_2)\cap J_3 = \Big(-\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}\Big) \cap \Big(\dfrac{2}{5},\dfrac{8}{3}\Big)=\emptyset$$

ya que $$\dfrac{1}{3} < \dfrac{2}{5}$$. Finalmente, como la intersección con el vacío es siempre vacía, tenemos que:

$$\bigcap_{n\leq 4} J_n = J_1\cap J_2\cap J_3\cap J_4=\emptyset$$

También podemos hacer uniones e intersecciones de familias no finitas de intervalos.

En esta ocasión el problema que se plantea es que no se puede definir de forma recursiva, pero se adapta la definición buscando hacia qué tiende la sucesión de uniones o intersecciones finitas.

Para hacer este estudio, miramos hacia qué tienden los extremos de los intervalos y escogemos el supremo o el ínfimo de la sucesión en cada caso:

En la unión,

  • Para encontrar el extremo inferior buscamos el ínfimo de la sucesión de extremos inferiores.
  • Para encontrar el extremo superior buscamos el supremo de la sucesión de extremos superiores.

Y en la intersección,

  • Para encontrar el extremo inferior buscamos el supremo de la sucesión de extremos inferiores.
  • Para encontrar el extremo superior buscamos el ínfimo de la sucesión de extremos superiores.

Para verlo claro, veamos un ejemplo:

Consideremos la familia de intervalos de la forma: $$$\Big(-\dfrac{1}{n},\dfrac{1}{n}\Big)$$$ y queremos estudiar la unión y la intersección de todos ellos, si tomamos diferentes valores de $$n$$ naturales. Lo denotaremos por:

$$$\bigcup_{n\geq 1}\Big(-\dfrac{1}{n},\dfrac{1}{n}\Big) \ \mbox{y} \ \bigcap_{n\geq 1}\Big(-\dfrac{1}{n},\dfrac{1}{n}\Big)$$$

Entonces, si consideramos la sucesión del extremo inferior: $$\Big\{-\dfrac{1}{n}\Big\}_n$$ vemos que se trata de una sucesión estrictamente creciente, y con límite $$0$$.

Así mismo, la sucesión correspondiente a los limites superiores: $$\Big\{\dfrac{1}{n}\Big\}_n$$ es una sucesión estrictamente decreciente y con límite $$0$$.

Lo que nos da que nuestra sucesión de intervalos, $$$\Big\{\Big(-\dfrac{1}{n},\dfrac{1}{n}\Big)\Big\}_n$$$ va construyendo intervalos cada vez menor (el extremo inferior crece, mientras el extremo superior decrece) y tiende a un intervalo tal que ambos extremos son $$0$$: $$$(0,0)=\emptyset$$$

Una vez estudiadas ambas sucesiones, construimos la unión de la familia de intervalos buscando el ínfimo y el supremo de $$\Big\{-\dfrac{1}{n}\Big\}_n$$ y $$\Big\{\dfrac{1}{n}\Big\}_n$$ respectivamente, que en ambos casos es el primer término $$$a_1=-\dfrac{1}{1}=-1 \ \mbox{y} \ b_1=\dfrac{1}{1}=1$$$ por ser la primera sucesión creciente y la segunda decreciente. En resumen, tenemos: $$$\bigcup_{n\geq 1}\Big(-\dfrac{1}{n},\dfrac{1}{n}\Big)=(-1,1)$$$

Análogamente, para encontrar la intersección, buscamos el supremo y el ínfimo de las dos sucesiones, que equivale a sus límites, por ser la primera creciente y la segunda decreciente. De esta manera, nos queda que: $$$\bigcap_{n\geq 1}\Big(-\dfrac{1}{n},\dfrac{1}{n}\Big)=(0,0)=\emptyset$$$