Una equació exponencial és aquella en què la o les incògnites estan en l'exponent d'una potència. Les equacions exponencials utilitzen coneixements bàsics de les funcions exponencial i logarítmica.
Per resoldre-les s'utilitzen les següents propietats:
- $$a^0=1$$ per a qualsevol $$a$$.
- Dues potències amb una mateixa base positiva i diferent de la unitat són iguals si i només si són iguals els seus exponents. És a dir: $$$2^a=2^b \Leftrightarrow a=b$$$
- Per a qualsevol $$a \neq 0$$ i $$a\neq 1$$ tenim que: $$$a^x=b \Rightarrow x= \log_ab$$$
Quan es vol resoldre una equació exponencial aquesta pot tenir diferents formes, per això s'utilitzen diferents mètodes i transformacions.
Quan l'equació és del tipus $$f(a^x)=0$$ s'utilitza el canvi de variable $$t=a^x$$ i es resol l'equació de primer o segon ordre que apareix. Sempre que es vulgui aplicar aquest cas s'ha d'assegurar que $$a \neq 0$$ i $$a\neq 1$$.
$$$2-3^{-x}+3^{x+1}=0$$$ és d'aquest tipus ja que $$f(3^x)=2-3^{-x}+3^{x+1}=0$$
Utilitzem tal com hem dit el canvi de variable $$t=3^x$$.
Llavors: $$$2-(3^x)^{-1}+3\cdot 3^x= 2-t^{-1}+3 \cdot t=0$$$
Atès que estem segurs que $$t$$ no és zero (perquè no hi ha cap $$x$$ tal que $$3^x$$ sigui zero) no hi ha problema en que hi hagi una $$t$$ en el denominador. Multiplicant tota expressió per $$t$$ obtenim: $$$2-t^{-1}+3 \cdot t=0 \Rightarrow 2 \cdot t - t \cdot t^{-1}+3 \cdot t \cdot t=2t-1+3t^2=0$$$ que és una equació de segon grau en la variable $$t$$.
La resolem: $$$\displaystyle t=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3}=-2 \pm \frac{\sqrt{4+12}}{6}=\frac{-2 \pm \sqrt{16}}{6}=$$$ $$$\displaystyle =\frac{-2\pm 4}{6}=\left\{\begin {array}{l}t = \frac{2}{6}=\frac{1}{3} \\ t = \frac{-6}{6}=-1\end{array}\right.$$$
Com és de segon grau, obtenim dues solucions, desfent el canvi per a cada una tenim: $$$\displaystyle \left.\begin{array}{rcl} t=\frac{1}{3} & \Rightarrow & 3^x =\frac{1}{3} \\ t=-1 & \Rightarrow & 3^x=-1\end{array}\right\}$$$ però $$3^x$$ no pot ser mai negatiu de manera que no hi ha solució per $$t=-1$$. Ara només tenim una solució que és: $$$\displaystyle 3^x=\frac{1}{3} \Rightarrow x=\log_3\Big(\frac{1}{3}\Big)=\log_3 1-\log_3 3=0-1=-1$$$
$$$5^{2x}-2\cdot 5^x-15=0$$$ Utilitzem el canvi de variable $$5^x=t$$: $$$t^2-2t-15=0$$$ Es resol l'equació de segon grau i obtenim: $$$t=5 \mbox{ i } t=-3$$$ per tant $$x=\log_5 5 $$ i l'altra solució no es considera donat que $$x=\log_5 (-3)$$ no té sentit.
Imaginem que volem construir nosaltres una equació que es resolgui d'aquesta manera. Una manera de procedir és, prendre una equació de segon grau $$3t^2-t-4=0$$ que té solucions $$\displaystyle t=\frac{4}{3}$$, $$t=-1$$ i escollim una base per considerar el canvi $$t=7^x$$, per exemple. Així substituint en l'equació es té: $$$3\cdot (7^x)^2-(7^x)-4=0 \Rightarrow 3 \cdot 7^{2x}-7^x-4=0$$$