Una equació exponencial és aquella en què la o les incògnites estan en l'exponent d'una potència. Les equacions exponencials utilitzen coneixements bàsics de les funcions exponencial i logarítmica.
Per resoldre-les s'utilitzen les següents propietats:
- $$a^0=1$$ per a qualsevol $$a$$.
- Dues potències amb una mateixa base positiva i diferent de la unitat són iguals si i només si són iguals els seus exponents. És a dir: $$$2^a=2^b \Leftrightarrow a=b$$$
- Per a qualsevol $$a \neq 0$$ i $$a\neq 1$$ tenim que: $$$a^x=b \Rightarrow x= \log_ab$$$
Quan es vol resoldre una equació exponencial aquesta pot tenir diferents formes, per això s'utilitzen diferents mètodes i transformacions.
Quan l'equació exponencial a resoldre és del tipus $$a^{f(x)}=b$$ llavors es pot resoldre per logaritmació d'ambdós costats si tots dos membres són positius. És a dir, simplement s'apliquen les propietats del logaritme per trobar quant val $$f(x)$$.
$$$\displaystyle 2^{x+1}=6^\frac{3x}{2}$$$
Aplicant logaritmes:
$$$\displaystyle \log_2(2^{x+1})=\log_2 \Big(6^\frac{3x}{2}\Big)$$$
Ara mitjançant les propietats del logaritme,
$$$\displaystyle \log_2(2^{x+1})=\displaystyle \log_2 \Big(6^{\frac{3x}{2}}\Big) \Rightarrow \log_2(2)^{x+1}=\log_2(6)^{\frac{3x}{2}} \Rightarrow (x+1)\log_22=\frac{3x}{2}\log_26$$$
$$$\Rightarrow (x+1)=\frac{3x}{2} \log_26$$$
Ja hem convertit l'equació exponencial en una equació de primer grau que sabem resoldre. És a dir, aïllant la $$x$$ obtenim:
$$$(x+1)=\frac{3x}{2}\log_26 \Rightarrow x-\frac{3 \cdot \log_2 6}{2}x=-1 \Rightarrow x\Big(1-\frac{3 \cdot \log_2 6}{2}\Big)=-1\Rightarrow$$$
$$$x=\frac{-2}{2-3\cdot \log_2 6}$$$
$$$\displaystyle 5^{2x-1}=7^{3-x} \Rightarrow 2x-1=\log_5(7^{3-x})=(3-x)\log_5 7 \Rightarrow x=\frac{3\log_5 7+1}{2+\log_5 7}$$$