Resolver una ecuación exponencial por cambio de variable

Una ecuación exponencial es aquella en la que la o las incógnitas están en el exponente de una potencia. Las ecuaciones exponenciales utilizan conocimientos básicos de las funciones exponencial y logarítmica. Por lo que se les dará un repaso.

Para resolverlas se utilizan las siguientes propiedades:

  • $$a^0=1$$ para cualquier $$a$$.
  • Dos potencias con una misma base positiva y distinta de la unidad son iguales, si y sólo si son iguales sus exponentes. Es decir: $$$2^a=2^b \Leftrightarrow a=b$$$
  • Para cualquier $$a \neq 0$$ y $$a\neq 1$$ se tiene que:$$$a^x=b \Rightarrow x= \log_ab$$$

Cuando se quiere resolver una ecuación exponencial ésta puede tener distinta forma, por ello existen distintos métodos y transformaciones.

Cuando la ecuación es del tipo $$f(a^x)=0$$ se utiliza el cambio de variable $$t=a^x$$ y se resuelve la ecuación de primer o segundo orden que aparece. Siempre que se quiera aplicar este caso debe asegurarse que $$a \neq 0$$ y $$a\neq 1$$.

$$$2-3^{-x}+3^{x+1}=0$$$ es de este tipo puesto que $$f(3^x)=2-3^{-x}+3^{x+1}=0$$

Usamos tal y como hemos dicho el cambio de variable $$t=3^x$$.

Entonces: $$$2-(3^x)^{-1}+3\cdot 3^x= 2-t^{-1}+3 \cdot t=0$$$

Dado que estamos seguros que $$t$$ no es cero (porque no existe ningún $$x$$ tal que $$3^x$$ sea cero) no hay problema en que exista una $$t$$ en el denominador. Multiplicando toda expresión por $$t$$ obtenemos: $$$2-t^{-1}+3 \cdot t=0 \Rightarrow 2 \cdot t - t \cdot t^{-1}+3 \cdot t \cdot t=2t-1+3t^2=0$$$ que es una ecuación de segundo grado en la variable $$t$$.

La resolvemos: $$$\displaystyle t=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3}=-2 \pm \frac{\sqrt{4+12}}{6}=\frac{-2 \pm \sqrt{16}}{6}=$$$ $$$\displaystyle =\frac{-2\pm 4}{6}=\left\{\begin {array}{l}t = \frac{2}{6}=\frac{1}{3} \\ t = \frac{-6}{6}=-1\end{array}\right.$$$

Como es de segundo grado, obtenemos dos soluciones, deshaciendo el cambio para cada una tenemos: $$$\displaystyle \left.\begin{array}{rcl} t=\frac{1}{3} & \Rightarrow & 3^x =\frac{1}{3} \\ t=-1 & \Rightarrow & 3^x=-1\end{array}\right\}$$$ pero $$3^x$$ no puede ser nunca negativo de manera que no existe solución para $$t=-1$$. Ahora solo tenemos una solución que es: $$$\displaystyle 3^x=\frac{1}{3} \Rightarrow x=\log_3\Big(\frac{1}{3}\Big)=\log_3 1-\log_3 3=0-1=-1$$$

$$$5^{2x}-2\cdot 5^x-15=0$$$ Utilizamos el cambio de variable $$5^x=t$$: $$$t^2-2t-15=0$$$ Se resuelve la ecuación de segundo grado y se tiene: $$$t=5 \mbox{ y } t=-3$$$ por lo tanto $$x=\log_5 5 $$ y la otra solución no se considera puesto que $$x=\log_5 (-3)$$ no tiene sentido.

Imaginemos que queremos construir nosotros una ecuación que se resuelva de esta manera. Una manera de proceder es, tomar una ecuación de segundo grado $$3t^2-t-4=0$$ que tiene soluciones $$\displaystyle t=\frac{4}{3}$$, $$t=-1$$ y escogemos una base para considerar el cambio $$t=7^x$$, por ejemplo. Así sustituyendo en la ecuación se tiene: $$$3\cdot (7^x)^2-(7^x)-4=0 \Rightarrow 3 \cdot 7^{2x}-7^x-4=0$$$