Resoldre una equació exponencial per reducció a igual base

Una equació exponencial és aquella en què la o les incògnites estan en l'exponent d'una potència. Les equacions exponencials utilitzen coneixements bàsics de les funcions exponencial i logarítmica.

Per resoldre-les s'utilitzen les següents propietats:

  • $$a^0=1$$ per a qualsevol $$a$$.
  • Dues potències amb una mateixa base positiva i diferent de la unitat són iguals si i només si són iguals els seus exponents. És a dir:

$$$2^a=2^b \Leftrightarrow a=b$$$

  • Per a qualsevol $$a \neq 0$$ i $$a\neq 1$$ tenim que:

$$$a^x=b \Rightarrow x= \log_ab$$$

Quan es vol resoldre una equació exponencial aquesta pot tenir diferents formes, per això s'utilitzen diferents mètodes i transformacions.

Quan en ambdós costats de l'equació exponencial a resoldre es tenen potències de la mateixa base. En aquest cas es procedeix reduint ambdós costats de l'equació a la mateixa base i modificant com li correspon als exponents fins a arribar a una igualtat de bases, fet que permet igualar els exponents.

$$$2^{x+1}+2^x+2^{x-1}=28$$$

A la part esquerra de la igualtat traiem factor comú de $$2^x$$, i la part dreta la deixem igual de moment. Així doncs,

$$$2^{x+1}+2^x+2^{x-1}=28 \mbox { és el mateix que }2\cdot2^x+2^x+\displaystyle \frac{2^x}{2}=28 \Rightarrow 2^x\Big(2+1+\frac{1}{2}\Big)=28$$$

Ara realitzem les operacions i aïllem el $$2^x$$:

$$$2^x\Big(2+1+\frac{1}{2}\Big)=28 \Rightarrow 2^x\cdot \frac{7}{2}=28 \Rightarrow 2^x=\frac{28\cdot 2}{7}=8=2^3$$$

Ja tenim la mateixa base en els dos costats de la igualtat, de manera que podem igualar els exponents i així:

$$$2^x=2^3\Rightarrow x=3$$$

que és la solució que buscàvem.

$$$4^x=8^{2x-3} \Rightarrow 2^{2x}=2^{3(2x-3)} \Rightarrow 2x=3(2x-3) \Rightarrow 4x=9 \rightarrow \displaystyle x=\frac{9}{4}$$$

Per construir una equació d'aquesta manera amb solució es pot fer amb el procés invers.

Escollim una base, per exemple $$3$$. Ens inventem una equació de primer grau:

$$$5\Big(x+\frac{4}{7}\Big)=21$$$

i l'escrivim com a exponent d'aquesta base:

$$$\displaystyle 3^{5\Big(x+\frac{4}{7}\Big)}=3^21$$$

Ara podem intentar escriure el mateix de diferent manera perquè s'hagin de fer uns quants càlculs abans d'arribar a la mateixa base, per exemple una possibilitat seria:

$$$\displaystyle 3^{5\Big(x+\frac{4}{7}\Big)}=3^{5x}\cdot 3^\frac{5\cdot 4}{7}=243^x\sqrt[7]{3^{20}} \\ 3^{21}=3^{17+4}=3^{5\cdot 3+2}\cdot 3^4=9\cdot (3^5)^4\cdot \frac{3^8}{3^4}$$$

que en igualar-los ens donarà la següent equació:

$$$\displaystyle 243^x \cdot \sqrt[7]{3^{20}}=9 \cdot (3^5)^3\cdot \frac{3^8}{3^5}$$$

Hi ha moltes combinacions possibles per equacions amb la mateixa solució.