Ara construirem un polinomi de grau $$n$$ que només passa per un punt determinat $$x_0$$ i les seves $$n$$ derivades en aquest punt coincideixin amb les $$n$$ derivades de la funció $$f(x)$$. Aquest polinomi rebrà el nom de polinomi de Taylor entorn al punt $$x_0$$ de grau $$n$$ de la funció $$f (x)$$.
Aquest polinomi és:
$$$ \begin{array}{c} T_n(x)=f(x_0)+\dfrac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+ \dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+ \\ \dfrac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+ \dots \dots +\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \end{array} $$$
Per tant, donada una funció de classe $$\mathcal{C}^{n+1}$$, és a dir, derivable $$n +1$$ vegades amb continuïtat, i un punt $$x_0$$ on coneixem $$f(x_0), \ f'(x_0), \ f''(x_0), \dots, \ f^{(n)}(x_0)$$, podrem calcular el polinomi de Taylor.
Calculem el polinomi de Taylor d'ordre $$6$$ de la funció $$f(x)=e^x$$ entorn $$x = 0$$. Per això hem de conèixer el valor de la funció i de les seves $$6$$ primeres derivades en el punt $$x = 0$$. Calculem:
$$$\begin{array}{lcl} f(0)=1 \\ f'(x)=e^x & \Rightarrow & f'(0)=1 \\ f''(x)=e^x & \Rightarrow & f''(0)=1 \\ f'''(x)=e^x & \Rightarrow & f'''(0)=1 \\ f^{iv}(x)=e^x & \Rightarrow & f^{iv}(0)=1 \\ f^{v}(x)=e^x & \Rightarrow & f^{v}(0)=1 \\ f^{vi}(x)=e^x & \Rightarrow & f^{vi}(0)=1 \end{array} $$$
Així doncs el polinomi de Taylor és:
$$$T_6(x)=1+x+\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{6}x^3+\dfrac{1}{24}x^4+ \dfrac{1}{120}x^5+ \dfrac{1}{720}x^6$$$
Aquest polinomi es pot entendre com una aproximació polinòmica de la funció $$f(x)$$. És a dir, de vegades ens resulta més còmode treballar amb polinomi que amb la pròpia funció. Davant d'això, ens preguntem quin error cometem prenent el polinomi en lloc de la funció. Doncs bé, aquest error, que ens mesura fins a quin punt és correcte agafar el polinomi, ve donat per l'expressió:
$$$\text{error}=\big|f(x)-T_n(x)\big| = \dfrac{f^{(n+1)}(\xi(x))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$$
on $$\xi(x)$$ és un punt que està entre $$x_0$$ i $$x$$.