La funció que assigna a la variable independent $$x$$ el valor de $$f (x) =\log_ax$$ rep el nom de funció logarítmica de base $$a$$, on $$a$$ és un nombre real positiu diferent d'$$1$$.
Observem que si a un valor $$x$$ li apliquem la funció exponencial de base $$a$$, i a continuació, la funció logarítmica de base $$a$$, obtenim una altra vegada $$x$$, és a dir, $$$\log_a(a^x)=x$$$ Anàlogament es compleix que $$$a^{\log_ax}=x$$$ Per tant les funcions exponencial i logarítmica són funcions inverses.
Gràfica
Com en el cas de les funcions exponencials, la gràfica de les funcions logarítmiques varia segons si la base és major o menor que $$1$$.
Vegem-ho amb l'exemple de les funcions $$f(x)=\log_2x$$ i $$h(x)=\displaystyle \log_{\frac{1}{2}}x$$.
És destacable que les funcions logarítmiques sempre passen pel punt $$(1, 0)$$ ja que qualsevol nombre elevat a $$0$$ dóna $$1$$.
$$f(x)=\log_2x$$
$$\displaystyle f(x)=\log_{\frac{1}{2}}x$$
Propietats
A partir de la seva representació gràfica observem que les funcions logarítmiques compleixen les propietats següents:
- Domini: $$Dom (f) = (0,+\infty)$$
- Imatge: $$Im (f) = \mathbb{R}$$
- Cotes: No és acotada.
- Intersecció amb els eixos:Talla amb l'eix horitzontal en $$x = 1$$. No talla l'eix vertical.
- Continuïtat: És continua en el seu domini.
- Asímptotes: La recta $$x = 0$$ és una asímptota vertical.
- Si $$a> 1$$: $$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \log_ax=-\infty$$ i $$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \log_ax=+\infty$$
- Si $$0 <1$$: $$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \log_ax=+\infty$$ i $$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \log_ax=-\infty$$
- Periodicitat: No és periòdica.
- Simetries: No és simètrica.
- Monotonia: si $$a> 1$$, la funció és estrictament creixent. Si $$a<1$$, la funció és estrictament decreixent.
- Extrems relatius: No en té.
- Injectivitat i exhaustivitat: És injectiva (les imatges de punts diferents són diferents), i també és exhaustiva ja que la imatge és tot $$\mathbb{R}$$