Per a cada punt del pla $$\pi$$, podem considerar les tres equacions paramètriques com un sistema d'equacions amb dues incògnites, $$\lambda$$ i $$\mu$$, que ha de tenir solució única. Per tant el sistema: $$$\left. \begin{array}{rcl}x-a_1 &=&\lambda \cdot u_1 +\mu \cdot v_1 \\ y-a_2& = &\lambda \cdot u_2+\mu \cdot v_2 \\ z-a_3&=&\lambda \cdot u_3 +\mu \cdot v_3\end{array}\right\}$$$
ha de ser compatible determinat i per tant el següent determinant ha de valdre $$0$$: $$$\left|\begin{matrix}x-a_1 & u_1 & v_1 \\ y-a_2 & u_2 & v_2 \\ z-a_3 & u_3 & v_3\end{matrix} \right|=0$$$ Si desenvolupem el determinant anterior obtenim: $$$(u_2v_3-u_3v_2)\cdot x+(u_3v_1-u_1v_3)\cdot y+(u_1v_2-u_2v_1)\cdot z+ \\ +[-a_1(u_2v_3-u_3v_2)-a_2(u_3v_1-u_1v_3)-a_3(u_1v_2-u_2v_1)]=0$$$ I si anomenem $$A, B$$ i $$C$$ als coeficients de $$x, y, z$$, i $$D$$ al terme independent, obtenim l'equació lineal: $$$Ax + By + Cz + D = 0$$$ que es coneix com equació general, cartesiana o implícita del pla.
A més el vector $$\overrightarrow{v} = (A, B, C)$$ és un vector perpendicular al pla.
Donats els punts $$A = (1,-3, 5), B = (-2, 2,-1)$$ i $$C = (1,-1, 0)$$, trobeu les equacions paramètriques del pla que el determinen.
L'equació vectorial és: $$$(x, y, z) = (1,-3, 5) + \lambda \cdot (-3, 5,-6) + \mu \cdot (0, 2,-5)$$$ i les equacions paramètriques són: $$$\left\{\begin{array}{rcl}x&=&1-3\lambda \\ y&=&-3+5\lambda+2\mu \\ z&=&5-6\lambda-5\mu \end{array}\right.$$$
Si escrivim el determinant del sistema i igualem a zero tenim: $$$\left| \begin{matrix} x-1 & -3 & 0 \\ y+3 & 5 & 2 \\ z-5 & -6 & -5 \end{matrix}\right|=0$$$ I si el desenvolupem: $$$\left| \begin{matrix} x-1 & -3 & 0 \\ y+3 & 5 & 2 \\ z-5 & -6 & -5 \end{matrix}\right|=-25(x-1)-6(z-5)-15(y+3)+12(x-1)=\\=-25x+25-6z+30-15y-45+12x-12=-13x-15y-6z-2=0$$$ Una característica important de l'equació general del pla és que ens permet obtenir un vector normal amb només mirar l'equació.
Si l'equació és $$Ax + By + Cz + D = 0$$ llavors $$\overrightarrow{n}=(A,B,C)$$ és un vector normal al pla. En el nostre cas $$\overrightarrow{n}=(-13,-15,-6)$$.