La distància euclidiana representa el concepte més intuïtiu de distància sobre la recta real. Tot i així, podem definir altres distàncies, entre nombres racionals, que no corresponen a cap concepte intuïtiu.
Encara que només presentarem les definicions corresponents, aquestes noves distàncies són clau per obtenir resultats aritmètics.
Anem ara a definir la norma p-àdica:
Fixem un nombre primer $$p$$. Per definir la norma d'un nombre racional $$\dfrac{a}{b}\neq 0$$ primer hem factoritza tant $$a$$ com $$b$$, de fet n'hi ha prou amb veure quantes vegades són divisibles per $$p$$.
Suposem llavors que $$a=m\cdot p^r$$ de manera que $$p$$ no divideix a $$m$$, i $$b=n\cdot p^s$$ amb $$p$$ no dividint a $$n$$.
Segons aquestes definicions, definim la norma de $$\dfrac{a}{b}$$ com $$$p^{s-r}$$$ Escriurem la norma de $$\dfrac{a}{b}$$ com $$\Big| \dfrac{a}{b}\Big|_p$$ i l'anomenarem norma p-àdica.
Si $$\dfrac{a}{b}=0$$ llavors posem $$\Big| \dfrac{a}{b}\Big|_p=0$$.
No hem de confondre la notació entre $$\Big| \dfrac{a}{b}\Big|$$ i $$\Big| \dfrac{a}{b}\Big|_p$$. Quan no posem subíndex sempre ens estarem referint a la norma euclidiana.
També hem de tenir en compte que quan parlem de normes p-àdiques, $$p$$ ha de ser primer. Per tant, no té sentit parlar, per exemple de la norma 4-àdica ni 6-àdica ja que ni $$4$$ ni $$6$$ són primers.
També podem observar que per a calcular $$\Big| \dfrac{a}{b}\Big|_p$$ no cal que $$a$$ i $$b$$ no tinguin factors en comú.
Com a últim comentari hem recalcar que la distància p-àdica correspon als nombres racionals i no té sentit per nombres irracionals. Per exemple, no podem escriure $$|\sqrt{2}|_p$$.
Considerem el nombre racional $$\dfrac{10}{12}$$. Calculem la norma 2-àdica.
La factorització de $$10$$ és $$5 \cdot 2$$ i la de $$12$$ és $$3 \cdot 2^2$$. Segons les notacions anteriors tenim que $$a=10$$ i $$b=12$$ amb $$m=5$$ i $$n=3$$ i també $$r=1$$ i $$s=2$$. Llavors, tenim que la norma 2-àdica de $$\dfrac{10}{12}$$ és
$$$\Big| \dfrac{10}{12}\Big|_2=2^{s-r}=2^{2-1}=2$$$
Aprofitem la factorització anterior per calcular les normes 5-àdiques i 7-àdiques.
Per a la norma 5-àdica tenim, segons les definicions presentades, $$m=2$$ i $$n=12$$ i també $$r=1$$ i $$s=0$$. I llavors
$$$\Big| \dfrac{10}{12}\Big|_5=5^{s-r}=2^{0-1}=\dfrac{1}{5}$$$
Per a la norma 7-àdica obtenim, segons les definicions presentades, $$m=10$$ i $$n=12$$ i també $$r=0$$ i $$s=0$$. I llavors
$$$\Big| \dfrac{10}{12}\Big|_7=7^{s-r}=7^{0-0}=1$$$
La norma p-àdica, té les mateixes propietats que la norma euclidiana i ens permet definir una distància, la que denominem com a distància p-àdica. Per definir aquesta distància fem una analogia amb la distància euclidiana definint la distància p-àdica com: $$$d_p(a,b)=|b-a|_p$$$
Aquesta distància té les propietats comentades per la distància euclidiana. Les recordem:
- $$d_p(a,b)>0$$; i $$d_p(a,b)=0$$ si i només si $$a=b$$.
- $$d_p(a,b)=d_p(b,a)$$.
- $$d_p(a,b) \leq d_p(a,c) + d_p(c,b)$$
No hem de confondre la notació $$d(a,b)$$ i $$d_p(a,b)$$, ja que la primera correspon sempre a la distància euclidiana i la segona a la distància p-àdica, on $$p$$ és un nombre primer.
Vegem un exemple on s'observa que aquesta distància no manté el sentit intuïtiu de proximitat que té la distància euclidiana.
Considerem la distància 3-àdica. Triem, per exemple $$b=1$$. Anem a veure que podem escollir un $$a$$ racional de manera que $$d(a,b)$$ sigui gran però que $$d_3(a,b)$$ sigui petita.
Si escollim $$a=82$$ tenim $$$d(a,b)=d(82,1)=|82-1|=81$$$
Vegem en canvi que la distància 3-àdica és petita: $$$d_3(a,b)=d_3(82,1)=|81|_3$$$
Factoritzant obtenim que $$81=3^4$$ i en conseqüència tenim $$$|81|_3=3^{-4}=\dfrac{1}{81}$$$
Per tant, els números $$1$$ i $$82$$ estan lluny segons la distància euclidiana però a prop segons la norma 3-àdica.
De la mateixa manera, si triem $$a=1+3^m$$ obtenim que $$$d(a,b)=d(1+3^m,1)=|1+3^m-1|=3^m$$$
I d'altra banda tenim $$$d_3(a,b)=d_3(1+3^m,1)=|1+3^m-1|_3=|3^m|_3=3^{-m}$$$
Amb el que la distància euclidiana es va fent més gran en augmentar $$m$$ i en canvi la distància 3-àdica es va fent cada vegada menor.