La distancia euclídea representa el concepto más intuitivo de distancia sobre la recta real. Aun así, podemos definir otras distancias, entre números racionales, que no corresponden a ningún concepto intuitivo.
Aunque solo presentaremos las definiciones correspondientes, estas nuevas distancias son clave para obtener resultados aritméticos.
Vamos ahora a definir la norma p-ádica:
Fijamos un número primo $$p$$. Para definir la norma de un número racional $$\dfrac{a}{b}\neq 0$$ debemos primero factorizar tanto $$a$$ como $$b$$, de hecho es suficiente ver cuantas veces son divisibles por $$p$$.
Supongamos entonces que $$a=m\cdot p^r$$ de manera que $$p$$ no divida a $$m$$, y $$b=n\cdot p^s$$ con $$p$$ no dividiendo a $$n$$.
Según estas definiciones, definimos la norma de $$\dfrac{a}{b}$$ como $$$p^{s-r}$$$ Escribiremos la norma de $$\dfrac{a}{b}$$ como $$\Big| \dfrac{a}{b}\Big|_p$$ y la llamaremos norma p-ádica.
Si $$\dfrac{a}{b}=0$$ entonces ponemos $$\Big| \dfrac{a}{b}\Big|_p=0$$.
No debemos confundir la notación entre $$\Big| \dfrac{a}{b}\Big|$$ y $$\Big| \dfrac{a}{b}\Big|_p$$. Cuando no pongamos subíndice siempre nos estaremos refiriendo a la norma euclídea.
También debemos tener en cuenta que cuando hablamos de normas p-ádicas, $$p$$ debe ser primo. Por tanto, no tiene sentido hablar, por ejemplo de la norma 4-ádica ni 6-ádica ya que ni $$4$$ ni $$6$$ son primos.
También podemos observar que para calcular $$\Big| \dfrac{a}{b}\Big|_p$$ no es necesario que $$a$$ y $$b$$ no tengan factores en común.
Como último comentario debemos recalcar que la distancia p-ádica corresponde a los números racionales y no tiene sentido para números irracionales. Por ejemplo, no podemos escribir $$|\sqrt{2}|_p$$.
Consideramos el número racional $$\dfrac{10}{12}$$. Calculamos la norma 2-ádica.
La factorización de $$10$$ es $$5 \cdot 2$$ y la de $$12$$ es $$3 \cdot 2^2$$. Según las notaciones anteriores tenemos que $$a=10$$ y $$b=12$$ con $$m=5$$ y $$n=3$$ y también $$r=1$$ y $$s=2$$. Entonces, tenemos que la norma 2-ádica de $$\dfrac{10}{12}$$ es
$$$\Big| \dfrac{10}{12}\Big|_2=2^{s-r}=2^{2-1}=2$$$
Aprovechamos la factorización anterior para calcular las normas 5-ádicas y 7-ádicas.
Para la norma 5-ádica tenemos, según las definiciones presentadas, $$m=2$$ y $$n=12$$ y también $$r=1$$ y $$s=0$$. Y entonces:
$$$\Big| \dfrac{10}{12}\Big|_5=5^{s-r}=2^{0-1}=\dfrac{1}{5}$$$
Para la norma 7-ádica tenemos, según las definiciones presentadas, $$m=10$$ y $$n=12$$ y también $$r=0$$ y $$s=0$$. Y entonces:
$$$\Big| \dfrac{10}{12}\Big|_7=7^{s-r}=7^{0-0}=1$$$
La norma p-ádica, tiene las mismas propiedades que la norma euclídea y nos permite definir una distancia, la que denominamos como distancia p-ádica. Para definir esta distancia hacemos una analogía con la distancia euclídea definiendo la distancia p-ádica como: $$$d_p(a,b)=|b-a|_p$$$
Esta distancia tiene las propiedades ya comentadas para la distancia euclídea. Las recordamos:
- $$d_p(a,b)>0$$; y $$d_p(a,b)=0$$ si y solo si $$a=b$$.
- $$d_p(a,b)=d_p(b,a)$$.
- $$d_p(a,b) \leq d_p(a,c) + d_p(c,b)$$
No debemos confundir la notación $$d(a,b)$$ y $$d_p(a,b)$$, ya que la primera corresponde siempre a la distancia euclídea y la segunda a la distancia p-ádica, donde $$p$$ es un número primo.
Veamos un ejemplo donde se observa que esta distancia no mantiene el sentido intuitivo de proximidad que tiene la distancia euclídea.
Consideramos la distancia 3-ádica. Elegimos, por ejemplo $$b=1$$. Vamos a ver que podemos escoger un $$a$$ racional de manera que $$d(a,b)$$ sea grande pero que $$d_3(a,b)$$ sea pequeña.
Si escogemos $$a=82$$ tenemos que $$$d(a,b)=d(82,1)=|82-1|=81$$$
Veamos en cambio que la distancia 3-ádica es pequeña. Tenemos que $$$d_3(a,b)=d_3(82,1)=|81|_3$$$
Factorizando obtenemos que $$81=3^4$$ y en consecuencia tenemos $$$|81|_3=3^{-4}=\dfrac{1}{81}$$$
Por tanto, los números $$1$$ y $$82$$ están lejos según la distancia euclídea pero cerca según la norma 3-ádica.
Del mismo modo, si elegimos $$a=1+3^m$$ obtenemos que $$$d(a,b)=d(1+3^m,1)=|1+3^m-1|=3^m$$$
Y por otro lado tenemos $$$d_3(a,b)=d_3(1+3^m,1)=|1+3^m-1|_3=|3^m|_3=3^{-m}$$$
Con lo que la distancia euclídea se va haciendo mayor al aumentar $$m$$ y en cambio la distancia 3-ádica se va haciendo cada vez menor.