Mira la taula amb atenció i intenta deduir la regla del producte:
| $$f (x)$$ | $$f'(x)$$ |
|
$$x^2(3x+1)$$ |
$$2x(3x+1)+x^2(3) $$ |
| $$ 4x(x+3)$$ | $$4(x+3)+4x(1)$$ |
| $$\sin x \cdot cos x$$ | $$\cos x \cdot \cos x +\sin x \cdot (-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x$$ |
| $$(Ax+B)(Ax+B)$$ | $$A(Ax+B)+(Ax+B)A=2A(Ax+B)$$ |
| $$g(x)\cdot h(x)$$ | ? |
L'has deduït? Compara el teu resultat amb la regla del producte enunciada a continuació.
La derivada del producte de dues funcions és la derivada de la primera multiplicada per la segona més la primera multiplicada per la derivada de la segona.
Matemàticament,$$$f(x)=g(x)h(x) \Rightarrow f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)$$$
Més exemples:
$$f (x) = 5x$$
Volem derivar l'expressió anterior, per el que busco reconèixer les meves funcions $$g (x)$$ i $$h (x)$$ que em permetin utilitzar la regla del producte. En aquest cas $$g (x) =5$$ i $$h (x) =x$$. Per tant,
$$f '(x) = 0 \cdot x + 5 \cdot 1=5$$
Un exemple del que ja coneixem el resultat: $$f(x) =x^2$$
Puc dir que $$g (x) =x$$ i $$h (x) =x$$ i utilizar la regla del producte.
Llavors, $$$f '(x) = 1 \cdot x + x \cdot 1 = 2x$$$ Evidentment el resultat concorda amb el que ja coneixíem.