Derivada d'una potència

A continuació mira la taula i intenta deduïr la norma general:

$$f (x)$$	$$f'(x)$$
$$x^2$$	$$2x$$
$$x^3$$	$$3x^2$$
$$x^5$$	$$5x^4$$
$$x^{\frac{1}{2}}$$	$$\frac{1}{2}x{-\frac{1}{2}}$$
$$2x^2$$	$$4x$$
$$2x^3$$	$$6x^2$$
$$5x^6$$	$$30x^5$$
$$x^n$$	?
$$Ax^n$$	?

Solució:$$$\begin{array}{ll}f (x) =x^n & f '(x) = nx^{n-1} \\ f (x) = A x^n & f '(x) = A nx^{n-1}\end{array}$$$

Comprova ara que els resultats anteriors siguin els correctes, sabent identificar en cada cas la constant $$A$$ i el valor de $$n$$ en cada cas .

S'acaba de trobar la fórmula general per a derivar qualsevol potència. S'afegeix que aquesta fórmula només és aplicable quan $$n$$ és un nombre racional. Vegeu a continuació alguns exemples que convé tenir en ment. Tingues en compte també el següent:

Una funció arrel quadrada o cúbica o qualsevol tipus d'arrel pot reescriure's sempre com una potència, és aplicable llavors la regla de derivació que s'ha presentat.
Quan $$n=0$$ la derivada és nul·la, ja que qualsevol nombre elevat a $$0$$ és $$1$$, que és una constant, i per tant la derivada és nul·la.

Resumint, doncs, s'ha deduït la fórmula general per a derivar tres tipus de funcions fonamentals: funció constant, funció lineal i una potència qualsevol. Vegeu un últim recordatori del que hem vist fins ara:

$$f(x)=A$$	$$f'(x)=0$$
$$f(x)=Ax+b$$	$$f'(x)=A$$
$$f(x)=Ax^n$$	$$f'(x)=A\cdot n\cdot x^{n-1}$$

i utilitzeu-ho per als següents exemples:

a) $$\begin{array}{ll}{f (x) = 30x + 5} & {f '(x) = 30}\end{array}$$

b)$$\begin{array}{ll} {f(x)=4(x + 1)} & {f '(x) = 4} \end {array}$$

c) $$\begin{array}{ll} {f (x) = 3 (5x+2)} & {f '(x) = 15} \end {array}$$

d) $$\begin{array}{ll} {f (x) = 6 (x^4+5)} & {f '(x) = 6 · 4x^3 = 24x^3} \end {array}$$

e) $$f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$ $$f'(x)=\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$$

f) $$f (x) =\sqrt[3]{\sqrt{x^2}}$$ $$f'(x)=\dfrac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}=\dfrac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}=\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}$$