Mira la siguiente tabla con atención e intenta deducir la regla del producto:
| $$f (x)$$ | $$f'(x)$$ |
|
$$x^2(3x+1)$$ |
$$2x(3x+1)+x^2(3) $$ |
| $$ 4x(x+3)$$ | $$4(x+3)+4x(1)$$ |
| $$\sin x \cdot cos x$$ | $$\cos x \cdot \cos x +\sin x \cdot (-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x$$ |
| $$(Ax+B)(Ax+B)$$ | $$A(Ax+B)+(Ax+B)A=2A(Ax+B)$$ |
| $$g(x)\cdot h(x)$$ | ? |
¿La has deducido? Compara tu resultado con la regla del producto enunciada a continuación.
La derivada del producto de dos funciones es la derivada de la primera multiplicada por la segunda más la primera multiplicada por la derivada de la segunda.
Matemáticamente,$$$f(x)=g(x)h(x) \Rightarrow f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)$$$
Más ejemplos:
$$f (x) = 5x$$
Queremos derivar la expresión anterior, por lo que busco reconocer mis funciones $$g (x)$$ y $$h (x)$$ ue me permitan utilizar la regla del producto. En este caso $$g (x) =5$$ y $$h (x) =x$$. Por lo tanto,
$$f '(x) = 0 \cdot x + 5 \cdot 1=5$$
Un ejemplo del que ya conocemos el resultado: $$f(x) =x^2$$
Puedo decir que $$g (x) =x$$ y $$h (x) =x$$ y utilizar la regla del producto.
Entonces, $$$f '(x) = 1 \cdot x + x \cdot 1 = 2x$$$ Evidentemente el resultado concuerda con lo que ya conocíamos.