Concepte d'arrel
L'arrel o zero d'un polinomi $$p(x)$$ és un valor $$a$$ tal que $$$p(a)=0$$$
Els matemàtics, al llarg de la història, sempre han estat fascinats per trobar les arrels d'un polinomi qualsevol. En general, aquest problema és molt complicat.
Amb tot, a partir del teorema del residu i del teorema del factor, podem deduir algunes propietats sobre les arrels d'un polinomi:
1) Les arrels d'un polinomi són divisors del terme independent. Si no té terme independent, vol dir que és divisible per $$x-a$$, sent $$a=0$$, és a dir, és divisible per $$x$$.
$$p(x)=x^5+2x^4-3x^3+x^2-1$$ té com arrel $$1$$, $$$p(1)=1^5+2\cdot1^4-3\cdot1^3+1^2-1=0$$$ i efectivament $$1$$ divideix el terme independent $$-1$$.
El polinomi $$p(x)=2x^5+5x^4+4x^3-x^2+x$$ té el terme independent nul.
Llavors, pel teorema del factor, $$0$$ és una arrel de $$p(x)$$ i per tant $$x-0=x$$ divideix exactament al polinomi $$p(x)$$.
2) Sent $$a_i$$ les $$i$$ arrels d'un polinomi, podem expressar aquest polinomi com a producte i de polinomis de la forma $$x-a_i$$.
El polinomi $$p(x)=x^2-3x+2$$ té com arrels $$x=2$$ i $$x=1$$. Per tant, es pot expressar com $$$p(x)=(x-2)\cdot(x-1)$$$
El polinomi $$p(x)=x^2+5x+6$$ té com arrels $$x=-2$$ i $$x=-3$$. Per tant, es pot expressar com $$$p(x)=(x+2)\cdot(x+3)$$$
3) Un polinomi es diu irreductible o primer si no té cap nombre racional que sigui arrel.
Els polinomis $$p(x)=x^2+x+1$$ i $$q(x)=x^2+1$$ no tenen cap arrel en els nombres racionals.
Factorització d'un polinomi
El procés de factorització d'un polinomi consisteix a trobar totes les seves arrels.
Hi ha diferents tècniques per trobar les arrels d'un polinomi. A continuació explicarem les més destacades:
Ús d'identitats notables
La idea és utilitzar les identitats notables però al revés. Per exemple, si sabem que: $$$(a-b)\cdot(a+b)=a^2-b^2$$$ És clar que ho podem aplicar a l'inrevés: $$$a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b)$$$ Per tant, si tenim un polinomi com el següent $$$x^2-16$$$ que si ens fixem és $$$x^2-4^2$$$ Aplicant la fórmula $$$x^2-16=x^2-4^2=(x-4)(x+4)$$$ És a dir, $$4$$ i $$-4$$ són les arrels del polinomi $$x^2-16$$.
Factoritza el polinomi $$x^2-6x+9$$.
Si ens fixem una mica, veiem que el polinomi anterior correspon a un quadrat de la diferència: $$$x^2-6x+9=x^2-2\cdot3\cdot x+3^2=(x-3)^2$$$ Per tant, el polinomi té $$x=3$$ com a arrel.
Factoritza el polinomi $$x^3+12x^2+48x+64$$.
Si ens fixem, veiem que el polinomi anterior correspon al cub d'una suma: $$$x^3+12x^2+48x+64=x^3+3\cdot4\cdot x^2+3\cdot4^2x+4^3=(x+4)^3$$$ Per tant, el polinomi té $$x=-4$$ com arrel.
Ús de les fórmules per solucionar equacions quadràtiques
Si tenim un polinomi $$p(x)$$ de grau $$2$$, podem igualar a $$0$$ i trobar la solució de l'equació quadràtica $$p(x)=0$$.
Aquests valors solució seran les arrels del polinomi $$p(x)$$.
Factoritza el polinomi $$x^2-x-2$$.
Hem de solucionar la següent equació $$x^2-x-2=0$$.
Apliquem la fórmula per trobar les arrels d'una equació quadràtica $$$x=\dfrac{ -(-1)\pm\sqrt{ (-1)^2-4\cdot1\cdot(-2) } }{2\cdot1}=\dfrac{1\pm\sqrt{9}}{2}= \left\{\begin{array}{c} \dfrac{1+3}{2}=2 \\\\ \dfrac{1-3}{2}=-1 \end{array} \right.$$$
Per tant, el polinomi té $$x=2$$ i $$x=-1$$ com arrels.
Factoritza el polinomi $$x^2+x-6$$.
Hem de solucionar la següent equació $$x^2+x-6=0$$.
Apliquem la fórmula per trobar les arrels d'una equació quadràtica $$$x=\dfrac{ -1\pm\sqrt{ 1^2-4\cdot1\cdot(-6) } }{2\cdot1}=\dfrac{1\pm\sqrt{25}}{2}= \left\{\begin{array}{c} \dfrac{1+5}{2}=3 \\\\ \dfrac{1-5}{2}=-2 \end{array} \right.$$$
Per tant, el polinomi té $$x=3$$ i $$x=-2$$ com arrels.
Ús de les fórmules per solucionar equacions biquadràtiques
Si tenim un polinomi $$p(x)$$ de grau $$4$$ i exponents parells, podem igualar a $$0$$ i trobar la solució de l'equació biquadràtica $$p(x)=0$$.
Aquests valors solució seran les arrels del polinomi $$p(x)$$.
Factoritza el polinomi $$x^4-5x^2+4$$.
Hem de solucionar la següent equació $$x^4-5x^2+4=0$$.
Realitzem el canvi de variable $$x^2=t$$ $$$t^2-5t+4=0$$$
Apliquem la fórmula per trobar les arrels d'una equació quadràtica $$$x=\dfrac{ -(-5)\pm\sqrt{ (-5)^2-4\cdot1\cdot4 } }{2\cdot1}=\dfrac{5\pm\sqrt{9}}{2}= \left\{\begin{array}{c} \dfrac{5+3}{2}=4 \\\\ \dfrac{5-3}{2}=1 \end{array} \right.$$$
Ara desfem el canvi: $$$x^2=4 \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} x=2 \\\\ x=-2 \end{array} \right.$$$ $$$x^2=1 \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} x=1 \\\\ x=-1 \end{array} \right.$$$
Per tant, el polinomi té $$x=2, x=-2, x=1$$ i $$x=-1$$ com arrels.
Factoritza el polinomi $$x^4-10x^2+9$$.
Hem de solucionar la següent equació $$x^4-10x^2+9=0$$.
Realitzem el canvi de variable $$x^2=t$$ $$$t^2-10t+9=0$$$
Apliquem la fórmula per trobar les arrels d'una equació quadràtica $$$x=\dfrac{ -(-10)\pm\sqrt{ (-10)^2-4\cdot1\cdot9 } }{2\cdot1}=\dfrac{10\pm\sqrt{64}}{2}= \left\{\begin{array}{c} \dfrac{10+8}{2}=9 \\\\ \dfrac{10-8}{2}=1 \end{array} \right.$$$
Ara desfem el canvi: $$$x^2=9 \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} x=3 \\\\ x=-3 \end{array} \right.$$$ $$$x^2=1 \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} x=1 \\\\ x=-1 \end{array} \right.$$$
Per tant, el polinomi té $$x=3, x=-3, x=1$$ i $$x=-1$$ com arrels.
Ús del teorema del factor
Per polinomis de grau superior, la nostra única eina és utilitzar el teorema del factor.
D'aquesta manera, per trobar les arrels d'un polinomi només caldrà que avaluem el polinomi per als valors de $$x$$ que siguin divisors del terme independent, i els valors en que l'expressió sigui nul, seran les arrels del polinomi. Amb uns exemples visualitzarem el procediment:
Factoritza el polinomi $$p(x)=x^2-3x+2$$.
Tal i com diuen les propietats del teorema del factor, si $$a$$ és arrel de $$p(x)$$, llavors $$p(a)=0$$.
Ara bé, quin valor pren $$a$$? Hi ha una propietat que ens serà extremadament útil:
- Si $$a$$ és una arrel de $$p(x)$$, $$a$$ és un divisor del terme independent de $$p(x)$$.
En el nostre cas, els divisors del terme independent del polinomi (de valor $$2$$) són: $$$1,-1,2,-2$$$ Per tant, només cal avaluar aquests valors en el polinomi i aplicar el teorema del factor:
$$p(1)=1^2-3\cdot1+2=0$$
$$p(-1)=(-1)^2-3\cdot(-1)+2=6$$
$$p(2)=2^2-3\cdot2+2=0$$
$$p(-2)=(-2)^2-3\cdot(-2)+2=12$$
Així doncs, les arrels de $$p(x)$$ són $$x=1$$ i $$x=2$$.
Factoritza el polinomi $$p(x)=x^2+6x-7$$.
Els divisors del terme independent del polinomi (de valor $$7$$) són: $$$1,-1,7,-7$$$ Per tant, només cal avaluar aquests valors en el polinomi i aplicar el teorema del factor:
$$p(1)=1^2+6\cdot1-7=0$$
$$p(-1)=(-1)^2+6\cdot(-1)-7=-12$$
$$p(7)=7^2+6\cdot7-7=84$$
$$p(-7)=(-7)^2+6\cdot(-7)-7=0$$
Així doncs, les arrels de $$p(x)$$ són $$x=1$$ i $$x=-7$$.