Arrel i factorització d'un polinomi

Exercicis

Factoritza els següents polinomis:

  1. $$x^2+10x+25$$
  2. $$x^4-625$$
  3. $$x^2+x-6$$
Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

1) Intentarem modificar el polinomi per tenir una expressió similar al quadrat de la suma:

$$x^2+10x+25=x^2+2\cdot5x+5^2=(x+5)^2$$

2) Realitzem el canvi de variable $$x^2=t$$:

$$t^2-625$$

I ara podem aplicar la diferència de quadrats:

$$t^2-625=(t+25)\cdot(t-25)$$

Les solucions són $$t=25$$ i $$t=-25$$. Desfem el canvi ara:

$$x^2=25 \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} x=5 \\ x=-5 \end{array} \right.$$

L'altre polinomi $$x^2+25$$ és irreductible.

3) Busquem els candidats a arrels del polinomi explicitant els divisors del terme independent (en aquest cas $$6$$):

valors: $$1,-1,2,-2,3,-3$$

Per tant:

$$p(1)=1^2+1-6=-4$$

$$p(-1)=(-1)^2+(-1)-6=-6$$

$$p(2)=2^2+2-6=0$$

$$p(-2)=(-2)^2+(-2)-6=-4$$

$$p(3)=3^2+3-6=6$$

$$p(-3)=(-3)^2+(-3)-6=0$$

Solució:

  1. L'arrel és $$x=-5$$.
  2. Les arrels són $$x=5$$ i $$x=-5$$.
  3. Les arrels són $$x=2$$ i $$x=-3$$.
Amagar desenvolupament i solució
Veure teoria