A l'espai, dues rectes poden ser coincidents, paral·leles, secants o bé creuar-se. Els angles que determinen es defineixen de manera diferent en cada cas. Així:
- Si dues rectes són coincidents o paral·leles formen un angle de $$0^\circ$$.
- Si dues rectes són secants, determinen quatre angles iguals dos a dos. El menor d'aquest angle es defineix com l'angle entre les rectes.
- Si dues rectes es creuen, l'angle entre elles és el més petit dels angles que forma la paral·lela a una de les rectes que talla a l'altra.
Per tant, igual que succeïa en el pla, el cosinus de l'angle $$\alpha$$ coincidirà (excepte el signe) amb l'angle format pels vectors directors de la recta. Per tant,
$$$\cos(\widehat{r\ s})=\cos\alpha=|\cos(\widehat{\vec{u}\ \vec{v}})|= \Big|\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}\Big|= \dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}$$$
on $$\vec{u}$$ i $$\vec{v}$$ són els vectors directors de les rectes $$r$$ i $$s$$.
Per tant,
$$$ \alpha=\arccos\Big(\dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|} \Big) \qquad \alpha \in [0,\dfrac{\pi}{2}]$$$
Finalment, si $$\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$$ i $$\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$$, l'expressió en components de la fórmula anterior és:
$$$ \cos(\alpha)=\dfrac{|u_1 v_1+u_2 v_2+u_3 v_3|} {\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}}$$$
Calcula l'angle que formen les rectes: $$$ r:\dfrac{x+2}{5}=\dfrac{y-1}{2}=z \quad \text{ i } \quad s:\left\{ \begin{array}{l} x+y+2z=3 \\ x-y-z=1 \end{array} \right. $$$
Primer hem de buscar un vector director de $$r$$ i un altre de $$s$$:
- Un vector director de $$r$$ és $$\vec{u}=(5,2,1)$$.
- Per trobar un vector director de $$s$$, escollim $$z$$ com a paràmetre i resolem el sistema d'equacions per Cramer obtenint:
$$$ s: \left\{ \begin{array}{l} x=2-\dfrac{1}{2}k \\ y=1-\dfrac{3}{2}k \\ z=k \end{array} \right. $$$
i per tant un vector director de $$s$$ és $$\vec{u}=(-1,-3,2)$$.
Ara ja estem en condicions d'aplicar la fórmula descrita anteriorment:
$$$ \begin{array}{rl} \cos(\alpha)=&\dfrac{|u_1 v_1+u_2 v_2+u_3 v_3|} {\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}}= \dfrac{|5\cdot1+2\cdot3+1\cdot(-2)|} {\sqrt{5^2+2^2+1^2}\sqrt{1^2+3^2+(-2)^2}} \\ =& \dfrac{9}{\sqrt{30}\sqrt{14}}=0.439 \end{array}$$$
Per tant,
$$$\alpha=\arccos(0.439)=63,95^\circ$$$