Per determinar les posicions relatives d'una recta $$r (A'; \overrightarrow{v})$$ i un pla $$\pi(P;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$$, expressem la recta mitjançant les seves equacions implícites i el pla amb la seva equació general:
$$$r: \left\{\begin{array} {rcl} A_1x+B_1y+C_1z+D_1 & = & 0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2 &=& 0 \end{array}\right. \\ \pi: Ax+By+Cz+D=0$$$
A continuació considerem el sistema format per les tres equacions i escrivim la matriu $$M$$ i la matriu ampliada $$M'$$ associades a aquest sistema:
$$$M=\begin{pmatrix} A & B & C \\ A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \end{pmatrix}$$$
$$$M'=\begin{pmatrix} A & B & C & -D \\ A_1 & B_1 & C_1 & -D_1\\ A_2 & B_2 & C_2 & -D_2 \end{pmatrix}$$$
Segons la compatibilitat del sistema tindrem una posició relativa o una altra:
Sistema Compatible
Determinat
$$rang(M) = rang(M') = 3$$
Sistema Compatible determinat. La recta i el pla són secants.
Indeterminat
$$rang (M) = rang (M') = 2$$
Sistema compatible indeterminat. Les solucions depenen d'un paràmetre. La recta està continguda en el pla.
Sistema Incompatible:
$$rang (M) = 2 \neq rang (M') = 3$$
Sistema incompatible. La recta i el pla són paral·lels.
Determina la posició relativa de la recta $$r: (x, y, z) = (2,-1, 0) + k \cdot (1, 2, 1)$$ i el pla $$ \pi: (x, y, z) = (5, 0, 0) + l \cdot (3, 0, 1) + m \cdot (4,-1, 1)$$
Comencem considerant la matriu les columnes són les components dels tres vectors directors (2 del pla i 1 de la recta) i trobem el seu rang:
$$$ |M| = \left|\begin{matrix} 1 & 3&4 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}\right|=0$$$
Per tant $$rang (M) = 2$$, i la recta estarà continguda o serà paral·lela al pla.
Per veure en quin cas estem, podem agafar un punt de la recta $$P$$ i mirar si pertany al pla $$\pi$$.
$$$P=(2,-1,0)$$$
Substituïm a $$\pi$$:
$$$\begin{array}{rcl}2 &=& 5 + 3 \cdot l +4 \cdot m\\ -1 &=& -m \\ 0 & =& l+m\end{array}$$$
Per tant $$m = 1, l =-1$$, i veiem que el punt no ho compleix.
Així, la recta i el pla són paral·lels.