Exercicis de Angle entre dues rectes

Determineu l'angle que formen les rectes $$r$$ i $$s$$:

$$$ r:\dfrac{x+1}{3}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z+1}{3} \qquad s:\left\{ \begin{array}{l} x=1-k \\ y=2+k \\ z=k \end{array} \right. $$$

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Comencem buscant vectors directors de $$r$$ i $$s$$:

  • un vector director de $$r$$ és $$\vec{u}= (3, -1, 3)$$.
  • un vector director de $$s$$ és $$\vec{v}=(-1, 1, 1)$$.

Ja estem en condicions d'aplicar la fórmula:

$$$ \begin{array}{rl} \cos(\alpha)=&\dfrac{|u_1 v_1+u_2 v_2+u_3 v_3|} {\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}}= \dfrac{|3\cdot(-1)+(-1)\cdot1+3\cdot1|} {\sqrt{3^2+(-1)^2+3^2}\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2}} \\ =& \dfrac{1}{\sqrt{19}\sqrt{3}}=0.13245 \end{array}$$$

Per tant,

$$$\alpha=\arccos(0.13245)=82.39^\circ$$$

Solució:

$$\alpha=82.39^\circ$$

Amagar desenvolupament i solució
Veure teoria