Ejercicios de Zona de validez de inecuaciones lineales simultáneas

Desarrollo:

i) Las rectas asociadas a estas inecuaciones son (las hallaremos tomando estrictamente el signo de igualdad en las inecuaciones y aislando la variable $$y$$): $$$ \begin{array}{rcl} f&:& 4x+5y=40 \Rightarrow 5y=-4x+40 \Rightarrow y=-\dfrac{4}{5}x+8 \\ g&:& 2x+5y=30 \Rightarrow 5y=-2x+30 \Rightarrow y=-\dfrac{2}{5}x+6 \\ h&:& x=0 \\ i&:& y=0 \end{array}$$$

Las dos últimas rectas son respectivamente el eje $$y$$ y el eje $$x$$.

Probando el punto $$(0,0)$$ en las dos primeras inecuaciones vemos que las regiones de validez de estas dos restricciones son por debajo de las rectas (el $$(0,0)$$ queda por debajo de las rectas y cumple las inecuaciones). En cuanto a las otras dos restricciones, sus regiones de validez son obvias: $$x\geqslant0$$ nos dice que solo podemos tener puntos a la derecha del eje $$y$$ y la última restricción ($$y\geqslant0$$) nos dice que su región de validez es por encima del eje $$x$$. La zona de validez está acotada.

ii) Se determinarán primero todos los puntos de corte entre las rectas y luego se comprobará cuáles de ellos cumplen todas las restricciones (ésos serán los vértices de la región factible).

Puntos de corte:

• $$f$$ con $$g$$. Cortarán en el punto $$(x_0,y_0)$$. Calculamos como en otras ocasiones: $$$ f(x_0)=g(x_0) \Rightarrow -\dfrac{4}{5}x_0+8=-\dfrac{2}{5}x_0+6 \Rightarrow x_0=5 $$$ $$$y_0=f(x_0)=g(x_0)=4 \Rightarrow (x_0,y_0)=(5,4)$$$ Este punto cumple todas las inecuaciones, por lo tanto será uno de los vértices de la región factible.

• $$f$$ con $$h$$. Cortarán en el punto $$(x_1,y_1)$$. La recta $$h$$ nos dice que $$x=0$$, por lo tanto el punto de corte entre las dos rectas es: $$$(0,f(0))=(0,8) \Rightarrow (x_1,y_1)=(0,8)$$$ Este punto no cumple la inecuación $$ 2x+5y \leqslant 30 $$, por lo tanto este no es uno de los vértices de la región factible.

• $$f$$ con $$i$$: Cortarán en el punto $$(x_2,y_2)$$. Calculemos estas coordenadas: $$$f(x_2)=i(x_2) \Rightarrow -\dfrac{4}{5}x_2+8=0 \Rightarrow x_2=10 $$$ $$$y_2=f(x_2)=i(x_2)=0 \Rightarrow (x_2,y_2)=(8,0)$$$ Este punto cumple todas las inecuaciones, por lo tanto será uno de los vértices de la región factible.

• $$g$$ con $$h$$: Cortarán en el punto $$(x_3,y_3)$$. La recta $$h$$ nos dice que $$x=0$$, por lo tanto el punto de corte entre las dos rectas es: $$$(0,g(0))=(0,6) \Rightarrow (x_3,y_3)=(0,6)$$$ Este punto cumple todas las inecuaciones, por lo tanto será uno de los vértices de la región factible.

• $$g$$ con $$i$$: Cortarán en el punto $$(x_4,x_4)$$. Calculemos estas coordenadas: $$$g(x_4)=i(x_4) \Rightarrow -\dfrac{2}{5}x_2+6=0 \Rightarrow x_4=15 $$$ $$$y_4=g(x_4)=i(x_4)=0 \Rightarrow (x_4,y_4)=(15,0)$$$ Este punto no cumple la inecuación $$4x+5y\leqslant 40$$, por lo tanto este no es uno de los vértices de la región factible.

• $$h$$ con $$i$$: Cortarán en el punto $$(x_5,x_5)$$. Las rectas $$h$$ e $$i$$ nos dicen respectivamente que $$x=0$$ y $$y=0$$, por lo tanto el punto de corte será (donde cortan los ejes, es decir en el origen): $$(x_5,x_5)=(0,0)$$. Este punto cumple todas las inecuaciones, por lo tanto será uno de los vértices de la región factible.

Solución:

i) Las rectas asociadas y regiones de validez de las restricciones son:

• $$f:\ y=-\dfrac{4}{5}x+8$$ y su región factible está por debajo de la recta.
• $$g:\ y=-\dfrac{2}{5}x+6$$ y su región factible está por debajo de la recta.
• $$h:\ x=0 $$ esta recta coincide con el eje $$y$$, y su región factible está a la derecha de dicho eje.
• $$i:\ y=0$$ esta recta coincide con el eje $$x$$, y su región factible está por encima de dicho eje.

La zona factible común a todas las ineuaciones está acotada.

ii) Los vértices de la zona factible común a todas las restricciones son:

• $$(x_0,y_0)=(5,4)$$ (punto de corte de $$f$$ con $$g$$).

• $$(x_2,y_2)=(8,0)$$ (punto de corte de $$f$$ con $$i$$).

• $$(x_3,y_3)=(0,6)$$ (punto de corte de $$g$$ con $$h$$).

• $$(x_5,x_5)=(0,0)$$ (punto de corte de $$h$$ con $$i$$).

No todos los puntos en que se cortan las rectas son a su vez vértices de la zona factible. Por eso hemos tenido que comprobar qué puntos cumplen todas las restricciones simultáneamente.

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