Ejercicios de Unión e intersección arbitrarias

Desarrollo:

1. Como que el extremo inferior de todos los intervalos es el mismo, para encontrar la intersección, solo necesitamos encontrar el ínfimo de los extremos superiores.

   Para encontrarlo, vamos a estudiar la sucesión de extremos:

   $$\Big\{\dfrac{2n^2}{3n+1}\Big\}_{n\in\mathbb{N}}$$, se trata de una sucesión divergente (ya que el grado del numerador es mayor al grado del denominador), y es además una sucesión creciente, con lo cual, el mínimo es el primer elemento de la sucesión: $$$a_2=\dfrac{2\cdot 2^2}{3\cdot 2 + 1}=\dfrac{8}{7}$$$ Así pues, la intersección nos queda: $$$\bigcap_{n\geq 2}\Big(1,\dfrac{2n^2}{3n+1}\Big)=\Big(1,\dfrac{8}{7}\Big)$$$

   Observemos que si también hubiéramos añadido el primer miembro de la sucesión, como que $$$a_1=\dfrac{2\cdot 1^2}{3\cdot1+1}=\dfrac{1}{2}$$$ Tendríamos que añadir el intervalo $$\Big(\dfrac{1}{2},1\Big)$$, y entonces la intersección seria vacía: $$$\bigcap_{n\geq 1}\Big(1,\dfrac{2n^2}{3n+1}\Big)=\emptyset$$$

2. Para estudiar esta unión, vamos a estudiar el comportamiento de las sucesiones de los extremos.

   Empezando por el extremo inferior:

   $$\Big\{-\dfrac{5n-1}{n+52}\Big\}_{n\in\mathbb{N}}$$ se trata de una sucesión convergente a $$-5$$ y decreciente:

   $$$-\dfrac{5n-1}{n+52} > -\dfrac{5(n+1)-1}{n+1+52}\dfrac{5n-1}{n+52} < \dfrac{5n+4}{n+53} $$$ $$$ (5n-1)(n+53) < (5n+4)(n+52)$$$ $$$ 5n^2+265n-n-53 < 5n^2+260n+4n+208$$$ $$$ 5n^2+264n - 53 < 5n^2+260n+4n+208 $$$ $$$ -53 < 208 $$$

   Así pues, tenemos que el extremo inferior de la unión, es el limite de la sucesión, es decir, $$-5$$.

   Estudiamos ahora el límite superior. La sucesión de extremos es:

   $$\Big\{\dfrac{7n^2}{8+n}\Big\}_{n\in\mathbb{N}}.$$ Al tener el grado del numerador mayor que el grado del denominador, sabemos que se trata de una sucesión creciente y divergente a $$+\infty$$, siendo este el supremo de esta sucesión.

   Es decir, tenemos que: $$$\bigcup_{n\geq 1}\Big[-\dfrac{5n-1}{n+52},\dfrac{7n^2}{8-n}\Big]=[-5,+\infty)$$$

Solución:

1. $$\bigcap_{n\geq 2}\Big(1,\dfrac{2n^2}{3n+1}\Big)=\Big(1,\dfrac{8}{7}\Big)$$
2. $$\bigcup_{n\geq 1}\Big[-\dfrac{5n-1}{n+52},\dfrac{7n^2}{8-n}\Big]=[-5,+\infty)$$

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