Calcula el valor de la siguiente fracción, suponiendo que en el numerador y en el denominador hay infinitos términos:
$$\dfrac{-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{16}-\ldots}{\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{45}+\ldots}$$
Desarrollo:
Estudiamos primero el valor del numerador: $$-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{16}-\ldots$$
Es la suma de una progresión geométrica de primer término $$a_1=-\dfrac{1}{2}$$, y razón $$r=\dfrac{1}{2}$$, así que vale:
$$$-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{16}-\ldots = \sum_{n\geq 1}-\dfrac{1}{2^n}=\dfrac{-\dfrac{1}{2}}{1-\dfrac{1}{2}}=-1$$$
A continuación miramos el valor del denominador: $$\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{45}+\ldots$$
Vuelve a ser la suma de una progresión geométrica, esta vez de primer término $$b_1=\dfrac{3}{5}$$ y razón $$r=\dfrac{1}{3}$$, así que:
$$$\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{45}+\ldots = \sum_{n\geq 1}\dfrac{1}{5\cdot 3^{n-2}}=\dfrac{\dfrac{3}{5}}{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{9}{10}$$$
De esta manera nos queda que:
$$$\dfrac{-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{16}-\ldots}{\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{45}+\ldots} = \dfrac{-1}{\dfrac{9}{10}}=-\dfrac{10}{9}$$$
Solución:
$$-\dfrac{10}{9}$$