Successos compatibles i incompatibles

Comencem amb l'experiment següent: tirem un dau de sis cares i veiem quin resultat surt. Considerem els següents esdeveniments $$A = \{ 2, 3 \}$$, $$B = \{ 1 , 2 \}$$, $$C = \{ 5 \}$$.

Observem que si traiem un $$2$$, llavors es compleix tant $$A$$ com $$B$$. Diem que els successos són compatibles, això vol dir, que es poden verificar simultàniament. Per contra, els successos $$B$$ i $$C$$ són incompatibles, ja que no es poden donar els dos alhora.

Per veure fàcilment quan dos successos són compatibles o no, podem observar que $$A$$ i $$B$$ tenen un element comú: el $$2$$, per la qual cosa seran compatibles. Per contra, $$A$$ i $$C$$ no tenen cap element en comú, i per tant són incompatibles.

Això ho expressem dient que dos successos $$A$$ i $$B$$ són incompatibles si $$$A \cap B \neq \emptyset$$$ i al contrari, que són compatibles si $$$A \cap B = \emptyset$$$

Si tenim tres o més successos, diem que són incompatibles dos a dos si qualsevol parella de successos és incompatible (anàlogament, són compatibles dos a dos si qualsevol parella de successos és compatible). En el nostre cas, $$A, B$$ i $$C$$ no són incompatibles dos a dos, ja que, encara que $$A$$ i $$C$$, $$B$$ i $$C$$ són incompatibles, $$A$$ i $$B$$ són compatibles.

Com es relaciona això amb els successos complementaris?

En el nostre experiment de tirar un dau, si tenim el nostre succés $$A = \{ 2, 3 \}$$, analitzem què passa amb el seu complementari.

En aquest cas, $$\overline{A}=\{1,4,5,6\}$$, ja que són tots els successos elementals que no compleixen $$A$$.

Resulta doncs que $$A$$ i $$\overline{A}$$ són incompatibles, ja que no es poden verificar alhora. I és que per a qualsevol succés $$A$$ calculem el seu complementari fent $$\overline{A}=\Omega - A$$, per la qual cosa $$A \cap \overline{A}=\emptyset$$, és a dir, dos successos complementaris sempre seran incompatibles.

Suposem que $$D=$$"treure un nombre parell"$$=\{ 2, 4, 6 \}$$. El seu complementari és $$\overline{D}=$$"Treure un nombre senar"$$=\{ 1, 3, 5 \}$$. Llavors, $$D\cup \overline{D} = $$"Treure un nombre parell o senar"$$= \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} = \Omega$$, és a dir, és un succés segur.

Per com definim un succés complementari, això sempre passarà, ja que es compleix sempre un dels dos, i com són incompatibles, o es compleix un o es compleix l'altre.