Els termes d'una successió no tenen, en principi, cap relació ni ordre. En el nivell anterior hem estudiat algunes relacions entre els termes de les successions i en aquest nivell ens centrem en les relacions d'ordre.
Donada una successió $$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$$ diem que és creixent si tot element de la successió és menor que els següents, és a dir, si $$a_n \leq a_{n+1}$$ per a tot $$n$$.
Anàlogament diem que és decreixent si tot element de la successió és més gran que els següents, $$a_n \geq a_{n+1}$$ per a tot $$n$$.
Una successió que sigui tant creixent com decreixent diem que és constant, ja que llavors $$a_n=a_{n+1}$$, tots els termes són iguals.
Donada una successió creixent diem que és estrictament creixent si $$a_n < a_{n+1}$$. I anàlogament una successió decreixent és estrictament decreixent si $$a_n > a_{n+1}$$.
La successió corresponent a $$a_n=n$$ és clarament creixent ja que $$n < n+1$$. De fet és estrictament creixent.
Com a exemple de successió decreixent podem considerar la successió amb terme general $$a_n=\dfrac{1}{n}$$. Observem que $$\dfrac{1}{n} > \dfrac{1}{n+1}$$ i la successió és estrictament decreixent.
Una successió constant és de la forma $$a_n=c$$ on $$c$$ és un nombre qualsevol. Tota successió constant té aquesta forma.
Aquesta classificació no ha de ser presa com genèrica ja que donada una successió qualsevol no sempre és creixent o decreixent. Per exemple la successió $$(0,1,0,1,0,1,\ldots)$$ no és ni creixent ni decreixent.
Si una successió és creixent o decreixent llavors direm que és monòtona. Si a més la successió estrictament creixent o estrictament decreixent aleshores l'anomenem estrictament monòtona.
Donada una successió, comprovar si aquesta és creixent o decreixent no representa sempre un problema senzill. Per demostrar aquestes propietats, la manera més evident és també la més útil en la majoria de casos. Ens referim a plantejar la desigualtat de la propietat que vulguem demostrar i a través dels càlculs necessaris comprovar que és certa per a tot $$n$$. En aquest context, per comprovar si la successió és llavors estrictament monòtona podem reutilitzar els càlculs ja realitzats.
Vegem alguns exemples més complets:
Considerem la successió $$a=(n^2-3n)_{n\in\mathbb{N}}$$. Anem a veure que la successió és creixent. És a dir, volem comprovar que $$$n^2-3n \leq (n+1)^2-3(n+1)$$$ Desenvolupant els quadrats tenim $$$n^2-3n \leq n^2-n-2$$$ i per tant $$2\leq2n$$, el que és cert per a tot $$n\geq1$$ i la successió és creixent.
Podem ara comprovar si la successió és estrictament creixent. Repetint els mateixos càlculs a partir de la desigualtat $$n^2-3n < (n+1)^2-3(n+1)$$ s'obtindria $$2 < 2n$$, el que és cert només per $$n > 1$$. És a dir, per $$n=1$$ no es compleix la desigualtat. Veient els primers valors de la successió veiem el fenomen que es produeix: $$$a=(-2,-2,0,4,10,18,\ldots)$$$
Considerem ara la successió $$b=\Big(\dfrac{n+1}{n^2}\Big)_{n\in\mathbb{N}}$$. Vegem que és decreixent. Hem de comprovar que $$$\dfrac{n+1}{n^2} \geq \dfrac{(n+1)+1}{(n+1)^2}$$$ Equivalentment, $$$(n+1)^2\cdot(n+1)\geq (n+2)\cdot n^2$$$ Expandint tenim $$$n^3+3n^2+3n+1 \geq n^3+2n^2$$$ I s'ha de complir $$$n^2+3n+1 \geq 0$$$ Per comprovar aquest tipus de desigualtats és suficient comprovar que no hi ha cap nombre enter entre les solucions del polinomi igualat a zero. En el nostre cas les solucions de $$n^2+3n+1 =0$$ són aproximadament $$-2.62$$ i $$-0.38$$. I segons el comentari anterior la desigualtat es compleix i la successió és decreixent.
Per comprovar si ho és estrictament, podem repetir els càlculs fins a obtenir $$n^2+3n+1 > 0$$ a partir de la condició $$$\dfrac{n+1}{n^2} > \dfrac{(n+1)+1}{(n+1)^2}$$$ Per comprovar que la successió és estrictament decreixent és suficient veure que les arrels obtingudes anteriorment no són nombres naturals.