Determina el comportament de les següents successions:
a) $$a_n=\dfrac{8n}{1-2n}$$
b) $$b_n=\dfrac{2n}{1+n^2}$$
c) $$c_n=\dfrac{n^2+2}{-n-1}$$
Desenvolupament:
a) La successió no és constant ja que $$a_1=-8$$ i $$a_2=-\dfrac{16}{3}$$.
Per comprovar si la solució és creixent o decreixent és suficient comprovar si $$a_n\leq a_{n+1}$$ o $$a_n\geq a_{n+1}$$, respectivament.
Vegem si és creixent. Volem comprovar si $$\dfrac{8n}{1-2n}\leq\dfrac{8(n+1)}{1-(2n+1)}$$
Simplificant el factor $$8$$ i multiplicant pels denominadors obtenim, observant que els denominadors són sempre negatius, $$$n(1-2(n+1))\leq (n+1)(1-2n)$$$ Expandint els productes tenim $$$-n-2n^2\leq +1-2n^2-n$$$
I restant el terme $$-n-2n^2$$ obtenim $$0\leq1$$ que és sempre cert independentment de $$n$$. Per tant la successió és creixent.
Per veure si la successió és estrictament creixent hem de comprovar si $$a_n < a_{n+1}$$.
Podem comprovar utilitzant els càlculs anteriors que la solució és estrictament creixent ja que els càlculs realitzats són certs si substituïm la desigualtat $$\leq$$ per la desigualtat estricta $$ < $$.
b) La successió no és constant ja que $$b_1=1$$ i $$b_2=\dfrac{4}{5}$$.
Veient els dos primers termes la successió, no pot ser creixent. Vegem si la successió és estrictament decreixent. Comprovem si $$$\dfrac{2n}{1+n^2} > \dfrac{2(n+1)}{1+(n+1)^2}$$$ Multiplicant pels denominadors: $$$2n(1+(n+1)^2) > (1+n^2)2(n+1)$$$ Expandint obtenim $$$4n+4n^2+2n^3 > 2+2n+2n^2+2n^3$$$ Simplificant obtenim $$$n^2+n-1 > 0$$$ Calculant les dues arrels del polinomi anterior veiem que són les dues menors a $$1$$. Per tant per a $$n$$ enter major a $$1$$ es compleix $$n^2+n-1 > 0$$ i la successió és estrictament decreixent.
c) La successió no és constant ja que $$c_1=-\dfrac{3}{2}$$ i $$c_2=-2$$.
Veient els dos primers termes només pot donar-se que la successió sigui estrictament decreixent. Comprovem si $$$\dfrac{n^2+2}{-n-1} > \dfrac{(n+1)^2+2}{-(n+1)-1}$$$ Multiplicant pels denominadors obtenim $$$(-n-2)(n^2+2) > (n^2+2n+3)(-n-1)$$$ Multiplicant per $$-1$$, i per tant invertint la desigualtat i expandint obtenim: $$$n^3+2n^2+2n+4 < n^3+3n^2+5n+3$$$ Restant obtenim la desigualtat $$$n^2+3n-1 > 0$$$
Calculant les arrels veiem que les dues són menors a $$1$$ i per tant la desigualtat és certa per a tot $$n$$ enter.
Per tant la successió és estrictament decreixent.
Solució:
a) La successió és estrictament creixent.
b) La successió és estrictament decreixent.
c) La successió és estrictament decreixent.