Límit d'una successió

Presentació del concepte de límit

Donada una successió, el concepte que en general té més interès és el de límit de la successió. La definició formal d'aquest concepte pot semblar poc intuïtiva a primera vista, així que primer presentem la idea que hi ha darrere de la definició.

Considerem la successió $$a_n=\dfrac{1}{n}$$.

Aquesta successió és decreixent i fitada inferiorment per $$0$$. Donant valors observem com la successió va prenent cada vegada valors més propers al nombre $$0$$.

imagen

Això ens permet dir que els elements de la successió vistos com punts sobre la recta real s'acosten al $$0$$ en augmentar $$n$$. Més rigorosament, la successió tendeix a $$0$$ quan $$n$$ tendeix a infinit. Diem que el límit de la successió anterior és $$0$$.

D'altra banda, es pot comprovar que $$0$$ és la fita inferior de la successió i per tant coincideix amb el límit.

Fent un exercici d'abstracció, donada una successió decreixent qualsevol amb una cota inferior $$m$$, la major possible, podem repetir el procés anterior i comprovar com els termes de la successió tendeixen a $$m$$. És a dir, el límit és $$m$$.

Aquesta idea també és vàlida per a una successió creixent amb una cota superior $$M$$, la mínima possible. Llavors el límit de la successió és $$M$$.

Definició formal de límit

Procedim a definir ara el límit d'una successió a través de la idea anterior. Com hem vist, el límit d'una successió és el punt $$M$$ de la recta real si la diferència entre el terme general de la successió i $$M$$ és, en augmentar $$n$$, tan a prop del $$0$$ com vulguem.

Formalitzant, el límit de la successió $$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} $$ és el nombre $$a$$ si per a tot $$m$$ natural fixat podem trobar un altre nombre natural $$N$$ de manera que per a qualsevol $$n > N$$, es compleix que: $$$|a_n - a| < \dfrac{1}{m}$$$

El valor absolut només és afegit per simplificar la notació ja que equival a $$$-\dfrac{1}{m} < a_n-a < \dfrac{1}{m}$$$

Si llegim aquesta definició, ens diu que la diferència entre els punts de la successió ja és menor que $$\dfrac{1}{m}$$. O dit d'una altra manera, la diferència entre els punts de la successió i el nombre a és tan petita com vulguem.

Aquesta definició formalitza la idea donada anteriorment: hem vist, per exemple, que la successió $$a_n=\dfrac{1}{n}$$ s'acosta al $$0$$ tant com vulguem.

Observem que, de fet, segons aquesta definició és senzill comprovar que el límit de la successió $$a_n=\dfrac{1}{n}$$ és $$0$$. Hem de comprovar com per a tot $$m$$ podem trobar un $$N$$ de manera que $$\Big|\dfrac{1}{n}-0\Big| < \dfrac{1}{m}$$ per a tot $$n > N$$. Escollint $$N=m$$ es compleix la propietat i $$0$$ és el límit de la successió.

Aquesta és la definició formal corresponent a la definició intuïtiva de límit. I ens permet definir el límit d'una successió qualsevol, encara que no sigui monòtona.

Per la pròpia definició de límit, també obtenim que tota successió convergent és fitada, tant superior com inferiorment ja que triant $$m=1$$ obtenim $$$-1+a < a_n < 1+a$$$ com volíem veure.

Per dir que el límit de la successió $$a_n$$ és $$a$$ anotarem $$$\lim_{n \to \infty}{a_n}=a$$$

Successions sense límit i classificació

El fet que hàgim vist algunes successions amb límit, no vol dir que tota successió tingui límit: per exemple la successió $$a_n=(-1)^n$$ no té límit.

Intuïtivament és clar ja que la successió intercala els números $$1$$ i $$-1$$ i no pot acostar-se a cap nombre, però cal veure formalment aquest fet.

Només cal escollir $$m = 1$$ segons la definició anterior. Com que la successió només té dos valors possibles, la condició de límit anterior es tradueix en $$-1 < 1-a < 1$$ i $$-1 < -1-a < 1$$.

Restant $$1$$ a la primera desigualtat i sumant $$1$$ a la segona obtenim $$-2 < -a < 0$$ i $$0 < -a < 2$$. I per tant no hi ha cap $$a$$ que compleixi les dues condicions.

Un altre exemple de successió que no té límit és la successió $$a_n=n$$. Els valors d'aquesta successió augmenten en $$1$$ en augmentar $$n$$ en $$1$$ així que no poden acostar-se a cap número.

A diferència de l'exemple anterior, aquesta successió no admet una fita superior. Seguint el concepte de proximitat del límit direm que la successió anterior tendeix a infinit. Més rigorosament, direm que el límit és $$+\infty $$ si la successió no està fitada superiorment i $$-\infty$$ si no està fitada inferiorment.

Aquests tres exemples permeten classificar les successions de la següent manera;

  • Si la successió té límit direm que és convergent.
  • Si la successió tendeix a infinit segons el concepte anterior direm que és divergent.
  • En un altre cas simplement direm que la successió no té límit.

Càlcul del límit

Donada una successió, el càlcul del límit pot representar un problema difícil de resoldre. Veiem alguns casos on podem calcular el límit fàcilment.

Considerem una successió on el terme general de la successió vingui donada pel quocient de dos polinomis. Per calcular el límit de la successió és suficient calcular el grau dels polinomis. Aleshores el límit és el següent;

  • Si el grau del polinomi del numerador és menor que el grau del polinomi del denominador llavors la successió és convergent amb límit $$0$$. L'exemple tipus és $$a_n=\dfrac{1}{n}$$.

  • Si el grau del polinomi del numerador és més gran que el grau del polinomi del denominador llavors la successió és divergent. Tendeix a $$+\infty$$ o $$-\infty$$ depenent del signe del quocient dels coeficients de grau més gran dels dos polinomis. Els exemples tipus són $$a_n=n$$ i $$a_n=-n$$ amb límit $$+\infty$$ i $$-\infty$$ respectivament.

  • Si el grau del polinomi del numerador és igual que el grau del polinomi del denominador llavors la successió és convergent amb límit igual al quocient dels coeficients de grau més gran dels dos polinomis. L'exemple tipus són la successions constants, però vegem un exemple més interessant.

Considerem la successió $$a_n=\dfrac{3n^2-7n+34}{-2n^2+11n+21}$$.

Com que el numerador i el denominador tenen el mateix grau màxim calculem el quocient dels coeficients de grau més gran dels dos polinomis. El coeficient de grau major del numerador és $$3$$ i el del denominador és $$-2$$. Per tant el límit de la successió és $$-\dfrac{3}{2}$$.

Un altre cas on és senzill el càlcul del límit és per a les progressions geomètriques. Donada la successió $$a_n=b^n$$ podem calcular el límit de la successió depenent de:

  • Si $$b > 1$$ el límit de la successió és $$+\infty$$.
  • Si $$b=1$$ la successió és constant i té límit $$1$$.
  • Si $$-1 < b < 1$$ el límit de la successió és $$0$$.
  • Si $$b\leq -1$$ la successió no té límit.

Per exemple, $$a_n=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^n$$ té límit $$0$$ ja que $$-1 < \dfrac{1}{2} < 1$$.