Resoleu el següent sistema d'equacions $$$\left\{ \begin{array} {rcl} 2x+2y+2z & = & 2 \\ 2x-2y+2z &=& 3\\ x+y-z &=& 1\end{array}\right.$$$
Què passa si es realitza la següent modificació en l'última equació? $$$\left\{ \begin{array} {rcl} 2x+2y+2z &=&2 \\ 2x-2y+2z &=& 3\\ x+y \ \fbox{+} \ z &=& 1\end{array}\right.$$$
Desenvolupament:
En primer lloc es posa la tercera equació en primer lloc, i s'elimina la variable $$x$$ de la segona equació. $$$\left\{ \begin{array} {rcl} x+y-z &=& 1 \\ 2x+2y+2z & = & 2 \\ 2x-2y+2z &=& 3 \end{array}\right.$$$ $$$E2' = E2 - 2\cdot E1$$$ $$$\left\{ \begin{array} {rcl} x+y-z &=& 1 \\ 4z & = & 0 \\ 2x-2y+2z &=& 3 \end{array}\right.$$$
Es pot observar que també s'ha eliminat la variable y de la segona equació. Així doncs $$z = 0$$ i es té un sistema de dues equacions i dues variables, que es pot resoldre fàcilment per substitució: $$$\left\{ \begin{array} {rcl} x+y &=& 1 \\ 2x-2y &=& 3 \end{array}\right. \\ 2(1-y)-2y=3 \Rightarrow 2-4y=3 \Rightarrow y=-\dfrac{1}{4} \\ x=\dfrac{5}{4} $$$
Així doncs, $$$x=\dfrac{5}{4}; \ y=-\dfrac{1}{4}; \ z=0$$$
El canvi de signe en la tercera equació fa que les equacions 1 i 3 siguin proporcionals, és a dir, contenen la mateixa informació. $$$\left\{ \begin{array} {rcl} 2x+2y+2z &=&2 \\ 2x-2y+2z &=& 3\\ x+y \ \fbox{+} \ z &=& 1\end{array}\right.$$$ $$$\left\{ \begin{array} {rcl} 2x-2y+2z &=&3 \\ x+y+z &=& 1\end{array}\right.$$$ $$$E1'=E1-2\cdot E2$$$ $$$\left\{ \begin{array} {rcl} z&=&1 \\ x+y+z &=& 1\end{array}\right.$$$ $$$x+y+1=1 \Rightarrow y=-x $$$
En tenir més variables que equacions, no es podrà trobar una solució simple. El grau de llibertat que queda fa que la solució sigui una recta (tall de dos plans).
Solució:
$$x=\dfrac{5}{4}; \ y=-\dfrac{1}{4}; \ z=0$$
$$y=-x; \ z=1$$