Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones: $$$\left\{ \begin{array} {rcl} 2x+2y+2z & = & 2 \\ 2x-2y+2z &=& 3\\ x+y-z &=& 1\end{array}\right.$$$
¿Qué ocurre si se realiza la siguiente modificación en la última ecuación? $$$\left\{ \begin{array} {rcl} 2x+2y+2z &=&2 \\ 2x-2y+2z &=& 3\\ x+y \ \fbox{+} \ z &=& 1\end{array}\right.$$$
Desarrollo:
En primer lugar se coloca la tercera ecuación en primer lugar, y se elimina la variable $$x$$ de la segunda ecuación. $$$\left\{ \begin{array} {rcl} x+y-z &=& 1 \\ 2x+2y+2z & = & 2 \\ 2x-2y+2z &=& 3 \end{array}\right.$$$ $$$E2' = E2 - 2\cdot E1$$$ $$$\left\{ \begin{array} {rcl} x+y-z &=& 1 \\ 4z & = & 0 \\ 2x-2y+2z &=& 3 \end{array}\right.$$$
Se puede observar que también se ha eliminado la variable y de la segunda ecuación. Así pues $$z=0$$ y se tiene un sistema de dos ecuaciones y dos variables, que se puede resolver fácilmente por sustitución: $$$\left\{ \begin{array} {rcl} x+y &=& 1 \\ 2x-2y &=& 3 \end{array}\right. \\ 2(1-y)-2y=3 \Rightarrow 2-4y=3 \Rightarrow y=-\dfrac{1}{4} \\ x=\dfrac{5}{4} $$$
Así pues, $$$x=\dfrac{5}{4}; \ y=-\dfrac{1}{4}; \ z=0$$$
El cambio de signo en la tercera ecuación hace que las ecuaciones 1 y 3 sean proporcionales, es decir, contienen la misma información. $$$\left\{ \begin{array} {rcl} 2x+2y+2z &=&2 \\ 2x-2y+2z &=& 3\\ x+y \ \fbox{+} \ z &=& 1\end{array}\right.$$$ $$$\left\{ \begin{array} {rcl} 2x-2y+2z &=&3 \\ x+y+z &=& 1\end{array}\right.$$$ $$$E1'=E1-2\cdot E2$$$ $$$\left\{ \begin{array} {rcl} z&=&1 \\ x+y+z &=& 1\end{array}\right.$$$ $$$x+y+1=1 \Rightarrow y=-x $$$
Al tener más variables que ecuaciones, no se podrá encontrar una solución simple. El grado de libertad que queda hace que la solución sea una recta (corte de dos planos).
Solución:
$$x=\dfrac{5}{4}; \ y=-\dfrac{1}{4}; \ z=0$$
$$y=-x; \ z=1$$